§ 24. Основные операции в криволинейных координатах

115

В сферических координатах

91 = т, 41 = 8, 9з = у>

• силу (7) имеем

'-*-V(©4»4£b

"■ *^я' ■

Величины

dk = H,dq„ «=1,2,3,

фигурирующие в формуле (8), являются дифференциалами длин дуг коор­динатных линии. Это соображение в ряде случаев позволяет более просто вычислять коэффициенты Ламэ. Так, в случае цилиндрических коорди­нат (4) (см. рис 38) дифференциалы длин дуг координатных линий (р), М. (л) будут

d(p) = I dp, откуда Я, = I; d(ip) = р ■ dy>, откуда Яз = р; d(z) = I dz, откуда Я₃ = !.

| Так же просто получаются выражения для коэффициентов Ламэ в случае сферических координат (6).

§ 24. Основные операции векторного анализа в криволинейных координатах

1°. Дифференциальные уравнения векторных линий.

Пусть имеем векторное поле

а = Oi(9i. 91,9з)«1 +aj(9i, 92, 9j)*i + *i(9i. 9з, 9i)*J Уравнения векторных линий в криволинейных координатах g_lt д_г, 9з имеют вид

Я: dq, Hi dgi Ну dqj

tti(9ii92.9l) <»i(9i.92.9j) °j(9i.9j.9j)

В чвстности, 8 цилиндрических координатах (q, = р, 93 = у», 93 = z): dp _ prfy> dz

«1 (p.V.z) o₂(p,y>,*) вз(р, уз, z) *

S

[лева 6. Криво линейные координаты

В сферических координатах (у_: — г, gj = 0, у, = у) dr rdP _ r sin 0dy>

oi(r,0. V>) aj(r,0, y>) o.i(f, 9, v?)

Пример 1. Векторное поле задано в цилиндрических координатах. а(Л/) - е, + уте,,. Найти векторные линии этого поля.

Решение. По условию задачи л, — I. Л] — у, лз — О В силу формулы (П имеем

dp р dp dz ! у D

Отсюда

|а = С„

I Р = С, <р .

это спирали Ардимслс. лежащие п плоскостях. параллельных плоскости хОу О

2°. Градиент в ортогональных координатах. Пусть имеем скалярное поле

е = «(ф.вз,гт)

Тогда

I 8u I Du. I 0u

^srad“ ⁼ яГёф*'⁺ Тгой*¹* Ж

В честности, в цилиндрических координатах (g, = р, 42 = <р. Чз — *)■

du I Du Ои

grad и = — е„ + - — е„ + — e_z;

Op pOip Oz

в сферических координатах (yi — г, у, - 0, q, - <р):

, c?u 1 Ои I Ои

grade = — е, + —е» + —-—- —с

вг г 09 г sin 0 dip

(2)

(3)

Пример 2. Вычислить градиент скалярного поля, заданного в цилин­дрических координатах (р, у>, г): и — р + z cos у>.

Решение. Псиъзуясь формулой (2), получаем

grndu = e, zslnye. 4-cosye-. t>

P

Пример 3. Найти градиент скалярного поля, заданного в сферических . „ , sin в

координатах (г, 0, у>): и = г + sin 0 cos у>

Решение Пользуясь формулой (3). будем иметь

/. s!n0\ cos0/l \ sin со

gradu=ll- — \_{tr +} — l- cosyle,* —>

соs<p

—~t

р

4°. Дивергенция ■ ортогональных координатах. Пусть за дано векторное поле

а = л,(9,. 9з, 9,)е, + ч_г[д,, 92, д,)е₃ + <4(9,, д_ъ д₃)е₃.