§24. Основные операции в криволинейныхкоординвтах 123

Дифференцируя (10) по в и учитывая второе уравнение системы, будем иметь

ВС

y>e"lnr=_ije'^,tnr + —, т е ^ = 0. откуда С(<р, в) = С (у»), и значит,

u se^lnr + С>(ур). (11)

Дифференцируя (II) по у> и принимая во внимание третье уравнение системы ($), найдем

Йе*¹' In г = йе*' In г + С, (^),

или С\(if)0, откуда С,(уз) а С = const. Искомый потенциал равен

и(г, в, у) — е¹* In г + С. 1>

Задачи для самостоятельного решения

Установить потенциальность следующих векторных полей, заданных в сферичес­ких координатах, и нвйтн их потенциалы.

293. в = Йе_г ч* в#. 294. а =* 2гв_г ч г—те. +-в*.

ram в * г

1. 2 V⁵ б

290. в = -уе, + -г¹—е„ + -в,. 290. » = cos у> sin йе, + cos уз cos йв, - sin узе„.

2. sin о г

1 2 U»

297. в = е'sinЙе_г I- -е^гcosfiе, + -

г (I + ур*)г sin й

7°. Вычисление линейного интеграле и циркуляции век­торного Поля В криволинейных координатах. Пусть векторное

поле

а (АО = о, («|. ft, 9j)bi + 07(91, hi Чз)*1⁺ «»(9i, ?г> 7j)°j определено и непрерывно а области П изменении ортогональных криво­линейных координат 9), 92, 9}.

Дифференциал dr радиуса-вектора г любой точки №(91,92,9у) 6 П, как известно, равен (см. §23, (8))

dr = Я, d9ie| + Я2 dg₂C2 + Яу dgjej.

Поэтому линейный интеграл вектора а(М) по ориентированной гладкой или кусочно гладкой кривой ДСП будет равен

J (в, dt) = J а|Я| d9i-М2Я2 dg2 + о_}Я] dgj. (12)

t L

В частности, для цилиндрических координат 9t = р, 92 = ¥>. gs = * будем иметь

а = о,(р, ур, z)t_f + а^(р, ур, *)«» + а,(р, ур, z)t„

Глава 6 Криволинейные координаты

поэтому

dr — dpt_p + р dipe_p + die,,

J (a, dr) — J apdp+ovpdy + a, dz;

i L

для сферических координат q, = r, g₂ = в, q₃ = yj будем иметь » - «rfa 0, ¥>)«г + oof»^-. 0, ip)ej ; a„(r 0, yj)e_r, dr — dre, + r d«c, + г sin в dpe_v,

и следовательно,

J (a.dr) = J a, dr -t- ran dd + riij siu 0 dip.

(13)

(14)

Замечании. Циркуляция Ц пскторного поля а(М) » крмполииейиых ко ороикатах g,, д... д_; вычислите» о обшей случае ко формуле (12), а в случае иияимлричсских ИЛИ сферических коорлинаг она иычисляется по форму­ле (13) или (14) соответственно.

Пример 10. Вычислить линейный интеграл от векторного поля, задан­ного в цилиндрических координатах: « = 4р sin + »Л, + {р+ уз)е,,

вдоль прямой £: |<д - * . г — о| от точки 0^0, *, 0^ до точки

i'H

Решение. 8 данном примере

а, 4/3 si п a_v = ге*, а, = р +- <р.

По формуле (13) искомый линейный икте|рал

J (a, dr) J 4т sin <р dp + pzc^p dip + {p + <p)dz.

t L

На прямой L имеем:

(fi ** -, dip - 0; z - 0, dz = 0: 0 $ p $ I

Поэтому

I

J {Kdr)-j 1^/Tpdp^yft j 2pdp = y/7. C>

LI 0

Пример И. Вычислить линейный интеграл от векторного поля, за­данного в сферических координатах- а = е^г sin 0е_г i Ж sin ум', * гуз^е^

вдоль линии L: |г = I, <р— 0^0-^ ^ | в направлении от точки