Глава I. Вектор-функция скалярного аргумента

dr I ** I ' d⁷r

от —, то она называется производной второго порядка и обозначается *—».

at dt²

Вообще

(Гг _ d (d"-'г\

dlⁿ ~ dt \dtⁿ~' )' "^-1,2

Задачи для самостоятельного решения

21. Дан радиус-вектор движущейся в просгронствс точки

г{а sin <, -а cast, W¹}

(t — премя, о и Ь — постоянные). Найти голографы скорости и ускорения.

21. Дано: г = neeswt + bsinwf, гле в. b — постоянные векторы. Доказать, что

I)

dr

^Г' dt

= 1*01; 2) ~+(Л=0.

21. Показать, что если г = ае^ы/ + be'^1-1, гае • и Ь — постоянные искторм. то

л J -

dt

21. Показать, что модуль дифференциала радиуса-вектора точки ранен диффе­ренциалу длины дуги, описываемой этой точкой.

22. Пусть а = а(и) есть вектор-функция скаляра tt. где и в свою очередь есть некоторая скалярная функция от оснопиого скаляра/. Предполагая а(и) ип= и(<) дифференцируемыми нужное число роз, найти выражение для производных

_ . d» rf*a

сложной функции —, —Г.

dt dl^l

§4. Интегрирование вектор-функции скалярного аргумента

Определение 1. Будем называть иектор-функцию A(t) первообраз- пой функцией для вектор-функиии a(t) при to < t < *|. если A(t) дифференцируема и

^ = »(<). t€(<₀,t|).

Определение 2. Неопределенным интегралом от нектор-функиим ска­лярного аргумента а = a(t) называется совокупность всех перво­образных для a(t). Неопределенный интеграл от осктор-функими, кок и в интегральном исчислении, обозначается знаком /. Имеем

у «(о <и=Mt)+с,

где A(t) — какая-нибудь из первообразных для a(t), С — произволь­ный постоянный вектор.

11

I t Для интегралов от вектор-функций справедливы следующие свой­ства:

1. / а в(0 dt = о / a(<) dt (or — числовая постоянная).

2. J{n(t)±b(t))dt = f*(t)dt±fb(t)dt.

Задача для самостоятельного решения

21. Показать, что если е — постоянный лектор, а(() — переменный вектор, то

I J (с,в(0 )Л« ^е, J в(е)Л^

У |с, »(()| М = [е, J «(<) л]

Если

то

■(О = <*,(«)! +

j a(t) <U — 1J ai(t) dt +] j o,(£)<«+k J

(I)

t.c. интегрирование вектор-функции сводится к трем обычным интегри­рованиям.

Пример 1. Найти неопределенный интеграл от еектор-функции а(t) = icosf +Je"^f4 к.

Решение. Согласно формуле (1)

J а(0 dt = 1J c«<<tt+J j e"^fctt + k J dt = I sin t-Je"4 kt + c,

где с — произвольный постоянный вектор. О

Задачи для самостоятельного решения

Найти интегралы от следующих вектор-функций:

20, а(е) = -I р!4*tc^,}J + costk.

1

21. i(f) = fe*l + iin³0-

30. •(<) = cos<e*’"‘l-(«»*^,J + k. 31. •(() = jrt - <*Jn<J + 2^rk.

Пусть вектор-функиия a(t) определена и непрерывна на некотором отрезке |*₀,Т] изменения аргумента t.

r _e-iP

33. j ■ (t)dt. где i = —— I + + e^,k..