Глава I. Вектор-функция скалярного аргументе

Для векторного проведения |dC»^ril имеем

I J к

[dc.nl =

= -lyd<+J* dC.

О

у *-С

и формуле (5) принимает вид (точка Л/(х, у, i) фиксирована. / = const)

♦ос

Н = /( »' ⁺ *J>/|_pi₊(_li_C)J]»/>’

(6)

Для вычисления интеграла в правой части (6) сделаем подстановку

/ntt cos H‘

Булем иметь

♦эс

/

<*<

»/2

-/

pdi

-х

+ У со**£|р« + (х-0*рт

-*Р

*Р

-?!

COS t dt — —.

Р²

Итак, некгор напряженности Н магнитного поля в нашем случае определя­ется формулой

^H = ^[(-yl + *j). или Н = Зр(1,г),

Г Р

где ! = / • к — вектор тока, г — радиус-вектор точки М(г, у, z) поля, р — расстояние от точки М до оси провода. С>

Пример 4 (движение электрона в однородном магнитном поле).

Пусть в какой-либо области пространства создано магнитное поле Н, постоянное по величине и направлению (однородное поле). Пусть в момент времени t = to в это поле попадает электрон с начальной скоростью уо. Определить траекторию электрона.

Решение. I. Предположим сначала, что вектор т_п перпендикулярен к Н и что начальное положение электрона — в точке М₀. Выберем качало О в про­извольной точке плоскости Р, проходящей через точку Л/„ перпендикулярно

вектору Н (рис. 7). Начальный радиус-вектор ОМ'о пусть будет г₀ и пусть г — радиус-вектор электрона в текущий момент времени I, а у — мгновенная скорость в этот момент. Основное дифференциальное уравнение движения

^mSr' = f¹

Силв F, действующая в момент t на электрон со стороны магнитного поля, как известно, равна

Fi.-eolH.vl,

где «о — абсолютная величина зарлла электрона. Таким образом,

и проинтегрируем его по t от to до t. Получим

тпт - mvс = е₀(г, Н] - ео[г₀, Н], _{Рис< 7}

Или

mv = е₀[г, HJ + (mv₀ - ео[г_0| Н]). (8)

Выберем теперь начало координат СУ так, чтобы обратилось п нуль слагаемое, стоя шее н круглых скобках в правой части (8), т.е. чтобы

«ofro, Н) = mv₀. (9)

Из(9) следует» что начальный вектор г₀ должен быть перпендикулярен к вектору v₀ и лежать на прямой MqK, перпендикулярной к плоскости векторов v₀ и Н. Модуль вектора г« в силу (9) должен удовлетворять соотношению

откуда

«оМ * |Н| = mjvol,

m|v₀|

kol =

€В|НГ

(10)

Этим положение нового начала (У определено. Относительно него урапнение (8) перепишется так:

mv = e$[r, Н], (11)

или

^mJ = «off. HI- (12)

Hi уравнения (11) вытекает, что траекторией электрона будет плоская кривая, лежащая в плоскости Р, так как вектор v в кождый момент времени перпенди­кулярен к Н. Умножим теперь обе части уравнении (12) ск&лярмо на г:

m

(^Г’ Ш) ^==С°(^Г^^Г’^Н1^>-

(13)

Смешанное произведение в правой части (13) равно нулю, так что

<fr\

(

—(г²) = 0, или -~(г²) = 0, т.е. г¹ = const.

Л ‘1-м , И»

Отсюда