Diana 3 Векторное none

Задачи для самостоятельного решения

124. Найти поток векторного поля * = т'1 - y’j 4- лк через внешнюю сторону

126. Найти поток векторного поля а = yzi + xej + хук через внешнюю сторону чаш и сферы х¹ + у² + а³ - Я². расположенную к первом октанте.

126. Найти поток ралнуса вектора г aci + pj у-лк через внешнюю сторону части сферы г¹ 4- у² + л² = 2, ограниченной плоскостями л — 0, л = у.

127. Найтн поток векторного поли а = лл1 4- ysj + л^гк через внешнюю часть сферы л^г + у¹ + л¹ = 9. отсеченной плоскостью л = 0 (л £ 2).

§12. Поток вектора через

замкнутую поверхность.

Теорема Гаусса—Остроградского

Теорема. Если в некоторой области G пространства координаты вектора

то поток векторного пат а через любую замкнутую кусочно гладкую поверхности Е, распаюженную в области G. ровен тройному интегралу

bp eg м _с „

от — + — + — по области V, ограниченной поверхностью Е:

Вх By Вг

Интеграл (2) удобно вычислять в сферических координатах г, в. <р. Имеем

а = Р(х, у. *)1 + Q(x, у, z)j + R(x, у, л)к

BP 8Q

непрерывны и имеют непрерывные частные производные —,

BP 8Q BIR дх' ду' Эх'

(формула Гаусса—Остроградского).

Нормаль п к поверхности Е берется внешняя.

Пример 1. Вычислить поток векторного попя я = i^!i + у²) + л²к через замкнутую поверхность х² + у¹ + л² = R², л — 0 (л > 0)

Решение По формуле (I)

X — Г 5Ш a COS уз, yrrsmesinyi, z — rcosff

н элемент объема

do = г² tin в dr de dp.

61

П = 2 fJJ(^r sinffcosy) + rstn9siny»-t- г cos»)!-¹ sin в dr йй &p =

И

>* •П к

— 2 J «V Jsin 0(sin0cos^ + sin0sinp + cos0)d0 Jr* <hr = 0 0 0

. 2« rfl

-?/*/■

cos 0 sin 6 dff =

rtf

Пример 2. Вычислить поток векторного поля а = 4si - yj + лк через поверхность тора

Решение. Воспользовавшись теоремой _z

Остроградского. подучим, что иско ^J

й поток П равен

П

5(»,о')Л7 =

■ш&г

Рис. 27

? V — объем гора. Чтобы вычислить объем V. воспользуемся теоремой Польлена "объеме тела вращении, в силу которой ^тот объем равен произведен ню площади мзющейся фигуры па путь, описываемый центром масс этой фигуры при

~1НСНИИ

Hycib Я| н R) — внутренний и внешний радиусы тора (рнс. 27) Плошадь S га. который при врашении образует тор, равна

инв пути, описываемого иен гром масс — центром этого круга, — есть длина I (Л| I- jRj)

ужностн ²—- .те.

R, + Rj

I ~ 2tr = 7r(JR, + Д_а).

Таким образом, объем V тора равен

У *(^7^) ИД! - К;) = ^(Ят - К,)^;№ + Д.)

Искомый поток

п = ж‘(П, -я,)'(я, у л,). t>

Пример 3. Используя теорему Гауссе—Остроградодаго. вычислить поток векторного голя

( _J 2xi(l+ р) +1+у²

^аЧг77 ^{+ 6}^ J^,+2*^arct*^ri ГГ?

Гпана 3. Векторное поле

через внешнюю сторону чести поверхности х = I - х* - у¹, располо­женной нвд плоскостью хОу.

Решение. Для того чтобы можно бы- ло применить теорему Гаусса—Осзрирад- ского, замкнем снизу донную поверхность участком плоскости хСу, который ограни- чен окружностью

Ы+у^г= I,

Пусть V — объем подученного тел», огра- ниченного замкнутой кусочно гладкой по- верхностью а, состоящей из части от пара- болоида вращения г = 1-х¹-у¹ и части <т_: плоскости г = 0 (рис. 28).

Поток данного вектора через поверх- ность о по теореме Гаусса— Остршрадс кого равен

Находим сумму

дР QQ 6R _ 7ху 7х 2д(|+у)_ 8х ⁺ By ⁺ вг ” I + ⁺ I +у^г 1 + U¹ "*

Следовательно, поток

П = О (а, п°) der = 0.

Н силу аддитивности потока будем иметь

П = JJ (а,п°) dcr + JJ (,,»«) *г-0.

Отсюда искомый лоток

Л>-// (i,n°)d(y = - JJ (*,л*)dtr.

*r

Поток П) вектора в через крут *’ + у² < 1.3 = 0 равен

Пз = JJ (», a°)dp.

Тек как на плоскости * = 0 имеем

г^гу

1 + У¹

l + 2i arctgyj - к, в = -к,