§ 17. Независимость линейного интеграла от пути интегрирования 85

Область D может бьль и неолносвяэной, так что (ранние ее может состоять из нескольких компонент (см рис. 33). Н этом случае пол

интегралом

/

Pdx + Q dy

понимается сумма интегралов по всем компонентам границы области D Формула Грнна (2) представляет собой частный случай теоремы Стокса (см. § 16)

Формуле Грина дает возможность в некоторых случаях упростить вычиаение циркуляции векторного пат

Пример 3. Вьнислигь циркуляцию вектора а = y/l +х² + у*1+у[ху-н 1п (х + у/l + уу’ )]j по окружности х* + у¹ — R¹.

Решение. Циркуляция данного вектора равна

Ц = (*. dr) = £ х/¹ + те* + У’ dz у[ху+■ In (х + х/Г+х³ + у^!))

3. ¹ Здесь

Р = у/1 +*³ ч-у¹, Q ~ху’ + у In (х + у/l + х‘ + у'). Находим частные производные

дР у

dy.

Эу х/¹ ■ х¹ + у¹’ дх

Применяя формулу Грнна, получим

^=у’ ₊

А-ш V ~

VH-x'+p

^ц = II * хДт^т? ~ 7П .1- s) ^dx‘^iv=II'*^dy

Переходя к полярным координатам

I = р CQ5 р, y = psiny>,

будем иметь

Ц = JJ р⁷ un'ippdpdip = jjp'yn'ipdpdp.

о о

Тик как 0 < <р < 2х. О < р < R. то

Ь

Ц — I ап зрар j р ар =

Ц = J sin’yj^v-’ J P^,4P = ~J^_- С»

о я

Задачи для самостоятельного решения

Вычисли гь циркуляцию следующих пек горных попей поданным кпнгуром. цри-

ечня формулу Грина;

9. а = (у I x)i + (y- x>J; £;z + y = l,x —0. y=rU

Главе 3. Векторное поле

210. а = (х — y^J)i + 2*у); L-.y — x, y = x^l.

211. »=xln(l-)V)l+-jiJL|; L-.z²+y² = 7x.

212. * = y’l-x^,J; L: x + y — —l, x = 0. у = 0.

on ■ (3x-vVl+xⁱ + V)l₊(l8y³ + xVl + xl + V)l

3v/l +x’4-V ■ ' ^r

214. С помощью формулы Грина вычислить разность мсжлу интегралами

1, - j (х + у)² dx - (х - у)¹ dp и 1_г- J (х + у)² dx-(x- у)² dp,

АпВ Аг.В

где 4т£ — отрезок прямой, соединяющей точки 4(0,0) и £(1,1), а АпВ — дуга параболы у = х*

214. Доказать, что величина интеграла / (2* + у) dx + 2х dy, где X — замкнутый

L

контур, даст плошадь области, ограниченной этим контуром.

214. Пользуясь формулой Грнна. вычислить линейный интеграл / (я, dr) от нек-

L

торного поля я = (е® sin у - р)1 + (е* cos у - l)J, |де линия X есть верхняя полу­окружность я:³ + у^г = 2х. проходимая ь направлении от точки 4(2,0) до точки 0(0,0).

ГЛАВА

4

§18. Признаки потенциальности поля

Определение. Векторное поле я(М) = Р(х, у, z)l + Q(z, у, *)J + Щх,у,г)к, заданное ь пространстпенноИ области V, натыкается потенциальным, если существует такая скалярная функция <р(М), что по осех точках области V выполняется равенство

функция <р(М) — ip(x,y,z), удовлетворяюшая в области V ра- венству (1). называется потенциалом (или потенциальной функцией) векторного поля а.

Соотношение (I) равносильно следующим трем скалярным равен-

Лотенцнал поля определяется неоднозначно, с точностью до посто- ll янного слагаемого.

Замечание. Дзксиловых полей функции f{M) обычно называется силовой функцией, а потенциалом называется функция -у>(М).

Пример 1 (Электростатическое поле точечного заряда). Показвть, что гопе электрической напряженности Е, создаваемое точечным за- рядом q, помешенным в начале координат-

Решение. Залича ставятся так' показать, что существует функция y{z, У, Т)

a(Af) =grady;(Af).

0)

¹ стнам.

является потенциальным полем

Так как

И ШШЛО1ИЧН0

)кан. что аыиолияются соотношения (2) В нашем случае имем

. v х'+у’ + т¹ _ *>(*, V. г) = г + С,

тле С — пронзиолькдя постоянная, является потенциалом данного поля. о

Л а ко убслиться. что погешдшл этого поля

• р' + х^:

(»(*. У, г) = Применяя формулу (I). получим

4-С.

М]

I

(* ,*•) = v>(2. — 1.0) - yj(-l,0, J)=