§21. Дифференциальные операции второго порядке

101

В силу формулы (6) [V, |V, ЕЦ = V(V, Е) ДЕ. Так как (V, Е) = 0, то

ер *ЯЕ

и» 00 имеем = ДЕ

Итак, дли векторного поля Е подумаем уравнение

0*Е

Щ²

Это — одно нзоснопных ураннений математической физики, назыиасмое волновым уравнением.

Нетрудно убедиться (проверьте это!), что иекторное поле И удовле­творяет точно такому же волновому уравнению

fl²H

dt²

Таким образом, каждвя нз координат Е_х, Е„, Е, и П_х, H_t, Н, векторов Е и Н удовлетворяет в наших условиях урапненню

0²Ц 2 /в²!» д^и С>²«\

W Ч&ё^{2 +} Vp ⁺ №/

Здесь а — скорость распространения процесса. В вакууме при

у/ёр

с = р ~ I имеем а = с, т е. в пустоте электромагнитные процессы распрострамиютси со скоростью света.

Задача для самостоятельного решения

239. Показать, что любое решение уравнении [V,[V. AJJ - Лг³А = 0, удовле­творяющее условию содсиоидальности, улоклетаориез векторному уравнению Гельмгольца V А + к¹ А — 0

Определение. Скалярное нале и = u(x,y,z), уловлетнормюшее условию Ди, называется лшошеовым или гармоническим печем.

Пример 3. Важным примером гармонического поля является скаляр­ное none u = . к — const, г = л/®² +11² +

г

Эта функция представляет собой потенциал поля тяготения, созда­ваемого точечной массой, помешенной в начале координат Нетрудно

проверить, что функции и = - гармоническая всюду, кроме начала т

координат, где она нс определена. В самом деле.

7

102

Глава 5. Операторы Гамильтона и Лапласа

- -*>/> = -»(-iv,y) - £(?.<■) =

2Л о о« ^, п_ч 2к к 2

= ^-0-_?(v/) = ^-_;3- = o

для все* г # 0.так как

<V,r*)- (v, £) - (vi,,) - in-.,). (-£.,) * l =

I . О V 3 I . о 3 13 2

г¹ г г г г г г

Пример 4. Доказать, что для потенциального векторного поля а его потенциальная функция и(х, у, г) удовлетворяет уравнению Пуассона

О²» ^ 0*11 ^ 0*и 6х¹ By¹ Ог^}

где р(х, у, z) —- дивергенция вектора я.

^йи = м^ё? ⁺ ё?^^р{х'^у-^г)'

(12)

Решение. По условию

dlva = p. (13)

Тик как векторное пак ■ потенциальное, та a — grndu, где и — потен­циал поля. Подставляя в (13) a = grad и, получим divgradu = р или. так как divgrnd и — Ди, то Ди = р

В частном случае, в точках поля, где дивергенция равна нулю, уравнение (12) обращается в уравнение Лапласа Ди = 0. Уравнение Лапласа—Пуассон в лает возможность найти потенциальную функцию и е помощью интегрирования дифференциального уравнения в частных производных В некоторых задачах это оказывается более удобным.

В электростатике нередко Предпочитают вместо функции ь Врать противо­положную еИ по знаку функцию а = -и. Тогда а = - grade. Сообразно с этим л теории электростатического поля уравнение Пуэссоно имеет вид

в*е в^ги 8?v 4* р

вх* ⁺ вр~6?~ Г

(И)

Рассмотрим элементарный пример на применение уравнении Пуас­сона.

Пример 5. Пусть две бесконечные разноименно заряженные парал­лельные пластины AAi и В В1 имеют потенциалы U| и и?, гтричем, для определенности. v_t > цд. Найти поле Е между ними (рис. 36).

Решение. Нлпрзвнм ось Ох перпендикулярно к пластинам ь напранлении убывания потенциале, а плоскость уОг совместим с положительно заряжениоп анютиной AA_t. Нулем искать ншемииальную функцию из уравнения Пуассона