Основные формулы раздела

(7.1)

(7.2)

(7.3)

(7.4)

где С_k – величина k-го денежного поступления;

– будущая стоимость потока постнумеранодо и пренумерандо;

– приведенная стоимость потока постнумеранодо и пренумерандо;

r – ставка за базовый период начисления процентов;

p – количество денежных поступлений в периоде;

n – количество периодов.

Типовые задачи с решениями

Задача 1

Приведены данные о денежных потоках за пятилетний период:

Поток	Год
	1	2	3	4	5
А	600	–	–	–	–
В	–	–	–	–	1200

Требуется рассчитать для каждого потока значения будущей (FV) и приведённой (PV) стоимости при r = 8 для двух случаев: а) элементы потоков имеют место в начале года (схема пренумерандо); б) потоки имеют место в конце года.

Решение

Для решения данной задачи воспользуемся формулами:

a) (7.1), (7.2);

б) (7.3), (7.4).

Используя эти формулы, получаем следующие значения будущей и приведенной стоимости денежного потока:

а) для схемы пренумерандо:

FV_A=881,6; PV_A=600;

FV_B=1296; PV_B=882,04;

б) для схемы постнумерандо:

FV_A=816,29; PV_A=408,35;

FV_B=1200; PV_B=816,67.

Задача 2

Приведены данные о денежных потоках:

Поток	Год
	1	2	3	4	5
C	100	200	200	300	300
D	200	200	200	200	200

Требуется рассчитать для каждого потока показатели FV при r = 12% и PV при r=15% для двух случаев: а) потоки имеют место в начале года; б) потоки имеют место в конце года.

Решение

Для решения этой задачи используем формулы оценки будущей и приведенной стоимости денежного потока:

а) (7.1), (7.2);

б) (7.3), (7.4).

Используя эти формулы, получаем следующие значения будущей и приведенной стоимости денежного потока:

а) для схемы пренумерандо:

FV_C=1484,24; PV_C=793,92;

FV_D=1423,04; PV_D=772;

б) для схемы постнумерандо:

FV_C=1325; PV_C=690,367;

FV_D=1271; PV_D=670,431.

Задача 3

Имеется переменный аннуитет постнумерандо (тыс. руб.): 20, 12, 8, 45, 30. Рассчитайте: а) будущую стои­мость аннуитета; б) приведенную стоимость аннуитета, если его период совпадает с базовым периодом начисления процентов по сложной процентной ставке 25% годовых, т.е. равен одному го­ду. Как изменятся полученные оценки, если исходный поток представляет собой аннуитет пренумерандо?

Решение

а) Обозначим (в тыс. руб.) С1=20, С2=12, С3 = 8, С4 = 45, С5 = 30 и r = 0,15. Изобразим схематично усло­вие задачи на оси времени (одно деление равно одному году), помещая над осью члены аннуитета:

20 12 8 45 30

0 1 2 3 4 5 лет

Для определения будущей стоимости аннуитета можно вос­пользоваться формулой (7.3). Для наглядности представим ре­зультаты расчетов в табличном виде.

(тыс. руб.)

Год	Денежный поток	Множитель наращения при r =25%	Наращенный поток
1	20	2,4414	48,828
2	12	1,9531	23,4372
3	8	1,5625	12,5
4	45	1,25	56,25
5	30	1	30
	115		171,0152

Из таблицы видно, что на первое денежное поступление в размере 20 тыс. руб. начисляются сложные проценты за 4 года, и оно в конце пятого года станет равным 202,4414=48,828 тыс. руб.; на второе денежное поступление в размере 12 тыс. руб. начисляются сложные проценты за 3 года, и оно в конце пятого года станет равным 12 1,9531=23,43 72 тыс. руб. и т.д. Будущая стоимость аннуитета равна сумме наращенных поступлений, т.е.

тыс. руб.

б) Для определения приведенной стоимости используем формулу (7.4). Как и в предыдущем слу­чае, для наглядности представим результаты расчетов в таблич­ном виде:

(тыс. руб.)

Год	Денежный поток	Дисконтный множитель при r = 25%	Приведенный поток
1	20	0,8	16
2	12	0,64	7,68
3	8	0,512	4,096
4	45	0,4096	18,432
5	30	0,3277	9,831
	115		56,039

Таким образом, с позиции начала первого года приведенная стоимость 20 тыс. руб. составляет 200,8 =16 тыс. руб., приве­денная стоимость 12 тыс. руб. составляет 120,64 = 7,68 тыс. руб. и т.д. Суммируя приведенные стоимости всех денежных посту­плений, получим приведенную стоимость аннуитета

тыс. руб.

Если же исходный поток является аннуитетом пренумерандо, то схематично условие задачи выглядит таким образом:

20 12 8 45 30

0 1 2 3 4 5 лет

Для определения будущей и приведенной стоимости этого аннуитета пренумерандо можно воспользоваться полученными результатами и формулами:

тыс. руб.

тыс. руб.