Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой эффективной годовой процентной ставки:

r_e=(1 + r/m)^m – 1.

Рассчитаем эффективную годовую процентную ставку для каждого варианта:

а) r_e = (1 + 0.24/12)¹² – 1 = 26,8%;

б) r_e = (1 + 0.26/2)² – 1 = 27,69%.

Для клиента выгоднее брать кредит по варианту а), так как в этом случае эффективная годовая ставка ниже (брать кредит под 26,8% годовых выгоднее, чем под 27,69%).

Задача 4

Господин N собирается поместить на некото­рый срок свободные денежные средства либо под сложную про­центную ставку 30% годовых с ежеквартальным начислением процентов, либо под простую процентную ставку 48% годовых. Выясните, как выгоднее поступить при сроке: а) 3 года; б) 4 года?

Решение

а) Чтобы сделать правильный выбор, необходимо найти для данной сложной процентной ставки 30% эквивалент­ную простую процентную ставку и сравнить ее с предлагаемой простой процентной ставкой 48%. Используем формулу (5.3) при n=3, m=4, r(4)=0,3.

Так как r = 46,06% меньше 48%, то выгоднее на три года по­местить капитал под простую процентную ставку 48%.

б) Полагая п = 4, т = 4, r = 0,3, получим:

Так как r = 54,52% превышает 48%, то выгоднее на 4 года поместить капитал под сложную ставку.

Задача 5

Долговое обязательство учтено в банке за 9 месяцев до срока погашения по номинальной годовой учетной ставке d(4) = 32%. По какой простой учетной ставке надо произ­вести учет этого обязательства, чтобы обеспечить банку тот же самый дисконт?

Решение

Полагая в формуле (5.4) n= 0,75, находим:

Таким образом, искомое значение простой учетной ставки составляет 29,51% годовых.

Задача 6

Банком выдан кредит на три месяца под 27% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов. Оп­ределите величину простой учетной ставки, обеспечивающей такую же величину начисленных процентов.

Решение

По формуле (5.5) при n=0,25, r(12)=0,27 находим требуемую величину простой учетной ставки:

Таким образом, искомое значение простой учетной ставки составляет 25,83% годовых.

Задача 7

Определите сложную годовую учетную став­ку с дисконтированием 2 раза в год, которая эквивалентна годовой номинальной процентной ставке 24%: а) с ежеквартальным начислением сложных процентов; б) с полугодовым начислени­ем сложных процентов.

Решение

а) По формуле (5.6) при m1=2, m2=4, r(4) =0,24:

б) при m1 =m2 = 2, г(2) = 0,24 получим:

Задача 8

Определите величину силы роста при начисле­нии непрерывных процентов в течение двух лет, которая эквива­лентна: а) простой процентной ставке 26% годовых; б) сложной процентной ставке 26% годовых с ежемесячным начислением процентов.

Решение

Используем формулу (5.7).

а) Полагая n = 2, г = 0,26, находим:

б) При т = 12, r(12)=0,26:

Задача 9

Банк предоставляет ссуду на 25 месяцев под 30% годовых с ежеквартальным начислением процентов по смешанной схеме. Определите эквивалентную годовую простую процентную ставку, обеспечивающую такой же доход банку от предоставления ссуды.

Решение

Покажем, что для данной ситуации нетрудно по­лучить формулу в общем виде. Пусть в течение времени п ис­пользуется сложная процентная ставка r(m), но при начислении процентов применяется смешанная схема. Тогда множитель наращения имеет вид:

, где w=[mn], f=mn–[mn], n=(w+f)/m.

Множитель наращения при использовании простой процентной ставки имеет вид (1 + nr). Приравнивая эти множители наращения, находим, что эквивалентная простая процентная ставка нахо­дится по формуле:

В нашем случае n=35/12 года, m = 4, r(4)=0,3, w=[4·35/12]=[35/3]=11,

f=35/3–11=2/3, поэтому

т.е. эквивалентная простая процентная ставка равна 45,48%.

Таким образом, из полученной выше формулы следует, что простая процентная ставка r эквивалентна по существу двум процентным ставкам: сложной ставке r(m), применяемой за время, равное целому числу подпериодов, и простой ставке r(m), применяемой за время, равное дробной части подпериода. При этом если дробная часть подпериода равна нулю (f = 0), то w =[mn], а если целое число подпериодов равно нулю (W = 0), то f/m=n, полученная формула примет вид r=r(m).

Задача 10

Банк принимает вклады до востребования под сложную процентную ставку 20% годовых при временной базе 365 дней. Какую простую годовую учетную ставку должен применить банк при учете векселя за 250 дней до срока его погашения, чтобы обеспечить себе такую же доходность, как и по вкладам до востребования? При учете используется временная база 360 дней.

Решение

Для определения эквивалентной простой годовой учетной ставки нельзя использовать формулу (5.5), так как в ней временные базы ставок одинаковы. Получим необходимую формулу, приравнивая соответствующие множители наращения. Пусть Td и Tr – временные базы соответственно учетной и процентной ставок, тогда из равенства

, получим:

, откуда: