Решение

а) Согласно условию имеем переменный аннуитет постнумерандо с постоянным абсолютным изменением его членов и, следовательно, для оценки аннуитета воспользуемся формулами вычисления стоимости аннуитета с изменяющейся величиной платежа. По условиям соглашения А =4 тыс. руб., n=8, r =0,2, и если суммы возрастают, то z=0,5 тыс. руб.

Поэтому по формуле (9.5):

тыс. руб.

тыс. руб.

Если суммы будут уменьшаться, то z = –0,5 и, следовательно, по формуле (9.6):

тыс.руб.

тыс.руб.

б) Оценки аннуитета пренумерандо нетрудно получить, используя соотношения:

, поэтому:

если z=0,5, тогда:

FV=87,2441,2=104693 руб.,

PV=20,291,2=24348 руб.

Если z= –0,5, тогда:

FV=44,7491,2=53699 руб.

PV=10,4081,2=12490 руб.

Задача 5

За 6 лет необходимо накопить 30 тыс. руб. Какой величины должен быть первый вклад, если предполагает­ся каждый год увеличивать величину денежного поступления на 800 руб. и процентная ставка равна 25% годовых? Денежные поступления и начисление сложных процентов осуществляются в конце года. Определите, на какую величину необходимо уве­личивать каждый год денежное поступление, если первый вклад будет равен 2 тыс. руб.

Решение

Полагая в формуле (9.5) руб., z=0.8 тыс. руб., n=6, r=0, 25, получим уравнение:

30=(А+0,8/0,25)11,2588–(0,86)/0,25,

из которого находим размер первого вклада:

А=1,170 тыс. руб.

Если же известна величина первого вклада А=2 тыс. руб. и неизвестна величина z абсолютного изменения денежных по­ступлений, то запишем уравнение:

30=(2+z/0,25)11,2588–(z6)/0,25, откуда:

z=0,356 тыс. руб.

Задача 6

По условиям контракта на счет в банке посту­пают в течение 7 лет в конце года платежи. Первый платеж ра­вен 4 тыс. руб., а каждый следующий по отношению к преды­дущему увеличивается на 10%. Оцените этот аннуитет, если банк начисляет в конце каждого года сложные проценты из рас­чета 28% годовых.

Решение

Поскольку ежегодно платежи увеличиваются в 1,1 раза (на 10%), то денежный поток представляет собой пере­менный аннуитет постнумерандо с постоянным относительным изменением его членов. Поэтому для оценки аннуитетта воспользуемся формулами (9.7) и (9.8). Полагая А = 4 тыс. руб., п = 7, r = 0,28 и q = 1,1, получим:

тыс.руб.

тыс.руб.

Тема 10. Оценка аннуитета с периодом больше года

На практике широко распространены аннуитеты, периоды которых не превосходят базовые периоды начисления процен­тов. В частности, если базовый период равен году, то период аннуитета не превышает одного года. Однако встречаются си­туации, связанные с аннуитетом, когда его период больше года.

Формулы для оценки будущей и приведенной стоимости ан­нуитета, период которого больше базового периода начисления процентов, аналогичны формулам для оценки будущей и приве­денной стоимости обычного аннуитета. Формулы для оценок ан­нуитета пренумерандо получаются из соответствующих формул для оценок аннуитета постнумерандо с использованием, как пра­вило, того факта, что денежные поступления пренумерандо начи­наются на период (аннуитета) раньше, чем постнумерандо.