Тема 6. Инфляция и начисление сложных и непрерывных процентов

Для оценки наращенной суммы с учетом ее обесцене­ния полученную величину делят на индекс инфляции за время осуществления наращения. Если множитель наращения равен индексу инфляции, то соответствующее наращение лишь нейтрализует действие ин­фляции.

При инфляции выделяют следующие виды процентных ставок: номинальную, реальную, положи­тельную. Иногда ставку с поправкой на инфляцию называют брутто-ставкой.

Для обеспечения реального роста стоимости первоначально­го капитала при инфляции необходимо исходную ставку увели­чивать (индексировать). Выбор величины такой индексированной ставки определяется поставленными целями. Для обеспечения реальной доходности согласно исходному коэффициенту нара­щения необходимо так индексировать исходную ставку (увели­чить на инфляционную премию), чтобы новый коэффициент на­ращения полностью компенсировал потери из-за инфляции.

Формула Фишера определяет значение сложной годовой процентной ставки, обеспечивающей при известном годовом темпе инфляции реальную эффективность кредитной операции. Эта формула по существу показывает ту величину, называемую инфляционной премией, которую необходимо прибавить к ис­ходной ставке доходности для компенсации инфляционных по­терь. При малом темпе инфляции и невысокой процентной став­ке (эта ситуация типична для стран с развитой рыночной эконо­микой) пользуются и приближенным вариантом формулы Фи­шера.

Типовые задачи с решениями

Задача 1

На вклад начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка, при которой про­исходит реальное наращение капитала, если ежемесячный темп инфляции составляет 3%?

Решение

а) Обозначим через среднемесячный (т.е. за полгода) индекс инфляции, тогда и при к=12 находим индекс инфляции за год:

Пусть r – процентная ставка при ежегодном начислении сложных процентов, тогда зна­чение ставки, лишь нейтрализующей действие инфляции, нахо­дится из равенства (т.е. множитель наращения за год приравнивается к годовому индексу инфляции). Таким образом:

Следовательно, реальное наращение капитала будет проис­ходить только при процентной ставке, превышающей 42,58% годовых.

б) При ежеквартальном начислении сложных процентов для определения номинальной ставки, лишь нейтрализующей дейст­вие инфляции, пользуемся равенством:

, откуда:

Таким образом, положительная процентная ставка при еже­квартальном начислении сложных процентов превышает 37,09% годовых.

в) В случае ежемесячного начисления процентов пользуемся равенством:

, откуда:

Итак, в данной ситуации реальное наращение исходит при номинальной процентной ставке, большей, чем 36% годовых. В этом случае ответ можно было дать сразу, поскольку для осуществления реального наращения капитала его относительный рост за месяц должен превышать темп инфляции за это же время. Следовательно, , поэтому

Задача 2

Номинальная процентная ставка, компенсирующая при наращении действие инфляции, 52% годовых. Определите полугодовую инфляцию, если начисление сложных процентов осуществляется каждый квартал:

Решение

Приравняем годовой индекс инфляции к множителю наращения за год. Полагая , получим:

Поэтому индекс инфляции за полгода (0,5 года) составит:

Следовательно, темп инфляции за полгода в среднем равен 27,69%.

Задача 3

На некоторую сумму в течение трех лет будут начисляться непрерывные проценты. По прогнозам инфляция за это время за каждый год последовательно составит 15, 20 и 10 процентов. Какова должна быть сила роста за год, чтобы сумма покупательной способности не уменьшилась?

Решение

Поскольку индекс инфляции за первый год равен 1,15, за второй – 1,2 и за третий – 1,1, то индекс инфляции за 3 года составит:

1,151,21,1=1,518.

Пусть  – сила роста за год, позволяющая первоначальной сумме только сохранить свою покупательную способность. Приравнивая индекс инфляции за три года к множителю нара­щения за это же время, получим: , отсюда:

Следовательно, сила роста (интенсивность наращения) должна превышать 13,91% за год.

Задача 4

На вклад в течение 15 месяцев начисляются проценты: а) по схеме сложных процентов; б) по смешанной схеме. Какова должна быть процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если каждый квартал цены увеличиваются на 8%?