Тема 8. Прямая и обратная задача оценки аннуитета

Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока. Известны два подхода к его определению. Согласно первому подходу, аннуитет – однонаправленный денежный поток, элементы которого имеют место через равные временные интервалы. Второй подход накладывает дополнительное ограничение, а именно, элементы денежного потока одинаковы по величине.

Ускоренные методы оценки денежных потоков основаны на применении мультиплицирующих и дисконтирующих множителей, которые табулированы в специальных финансовых таблицах. Таблицы инвариантны по отношению к виду потока – постнумерандо или пренумерандо; оценки для потока пренумерандо отличаются от соответствующих оценок для потока постнумерандо на величину множителя (1+г), где г – ставка в долях единицы.

В финансовой математике разработаны универсальные форму­лы, позволяющие делать расчеты при несовпадени­ях моментов поступления аннуитетных платежей и начисления про­центов.

Основные формулы раздела

(8.1)

= A FM4(r,n); (8.2)

(8.3)

(8.4)

(8.5)

(8.6)

(8.7)

где A – величина каждого денежного поступления;

– будущая стоимость аннуитета постнумерандо и пренумерандо;

– приведенная стоимость аннуитетов постнумерандо и пренумерандо;

r – ставка за базовый период начисления процентов;

p – количество денежных поступлений в периоде;

m – количество начислений сложных процентов в периоде;

n – количество периодов;

h – число периодов, через которое начинает поступать первый из платежей.

Типовые задачи с решениями

Задача 1

Анализируются 2 варианта накопления средств по схеме аннуитета пренумерандо, т.е. поступление денежных средств осуществляется в начале соответствующего временного интервала:

План 1: вносить на депозит 500 долл. каждые полгода при условии, что банк начисляет 10% годовых с полугодовым начислением процентов.

План 2: делать ежегодный вклад в размере 1000 долл. на условиях 9% годовых при ежегодном начислении процентов.

Ответьте на следующие вопросы:

1. Какая сумма будет на счёте через 10 лет при реализации каждого плана? Какой план более предпочтителен?

2. Изменится ли ваш выбор, если процентная ставка в плане 2 будет снижена до 8%?

Решение

План 1:

Принимая за базовый период полгода, воспользуемся формулой (8.5) при n=20; m=1; p=1; r=5%.

FV₁=0,5FM3(5%,20)=0,533066=16533$.

План 2:

Принимая за базовый период год, воспользуемся формулой (8.5) при n=10; m=1; p=1; r=9%.

FV₂=1FM3(9%,10)=115193=15193$.

В данной задаче более предпочтительным является план 1, так как в этом случае будущая стоимость денежного потока выше. Если процентная ставка в плане 2 будет снижена до 8%, то будущая стоимость денежного потока будет равна:

FV₂=1FM3(8%,10)=114487=14487 $,

то и в этом случае решение не изменится, то есть выгоднее план 1.

Задача 2

Вы имеете возможность делать ежеквартально взнос в банк в размере 100 долл. Банк начисляет проценты ежеквартально по ставке 16% годовых. Какая сумма будет на счёте к концу года?

Решение

Для решения данной задачи используем формулу (8.1) при n=4; r=4%; k=4:

FV=AFM3(4%,4)= 424,6 $.

Задача 3

К моменту выхода на пенсию, т.е. через 8 лет, г-н N хочет иметь на счете 30000 долл. Для этого намерен делать ежегодный взнос по схеме пренумерандо. Определите размер взноса, если банк предлагает 7% годовых.

Решение

Для решения задачи используются формулы (8.1) и (8.5) при n=8; m=1; p=1; r=7%, из которой выражается величина ежегодного взноса:

A = FV^a_pre / (FM3(r,n) (1+r)).

Подставляя в формулу числовые значения и табличные значения FM3(7%,8), получим, что размер ежегодного взноса при ставке 7% годовых составит:

A = 30000 / (10,26(1+0,007)) = 2732,69 $.

Задача 4

Клиент в конце каждого года вкладывает 3 тыс. руб. в банк, выплачивающий сложные проценты по ставке 25% годовых. Определить сумму, которая будет на счете через 7 лет. Если эта сумма получается в результате однократного помещения денег в банк, то какой величины должен быть взнос?

Решение

Для определения суммы, накопленной на счете, используем формулу (8.1) при n=7; r=25%; A=3:

FV=3FM3(25%,7)=315,0735=45221 руб.

Для определения величины однократного взноса в начале первого года, который при наращении сложными процентами через 7 лет станет равным 45221 руб., можно воспользоваться формулами (8.2) или (3.2):

PV=3FM2(25%,7)=33,1611=9483 руб.

PV=FV/(1+0,25)⁷= 9483 руб.

Задача 5

Предприниматель в результате инвестирования в некоторый проект будет получать в конце каждого квартала 8 тыс. руб. Определить возможные суммы, которые через три года получит предприниматель, если можно поместить деньги в банк под сложную процентную ставку 24% годовых с начислением процентов: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно.

Решение

а) используем формулу (8.3) при А=8 тыс. руб., n=3, r=24%, m=1, p=4:

руб., причем значение

вычисляем непосредственно по формуле

б) используем формулу (8.1), считая базовым периодом квартал, тогда n=12, r=6%

FV=8FM3(6%,12)=816,8699=134959 руб.

в) используем формулу (8.1) при А=8 тыс. руб., n=3, r=24%, m=12, p=4:

FV=8FM3 (2%,36)/FM3(2%,3)=8(51,9944/3,0606)=135915 руб.