Основные формулы раздела

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.5)

(4.6)

(4.7)

где F – наращенная сумма;

P – вложенная сумма;

n – количество лет;

d – сложная учетная ставка;

m – количество начислений процентов в году;

w – целая часть периода финансовой операции;

f – дробная часть периода финансовой операции.

Типовые задачи с решениями Задача 1

Найдите величину дисконта, если долговое обязательство на выплату 40 тыс. руб. учтено за 3 года до срока погашения по сложной учетной ставке: а) 20% годовых; б) 25% годовых.

Решение

а) По формуле (4.1) при n=3, F=40 тыс. руб., d=0,2 получим:

Поэтому дисконт составит 40–28,28=19,52 тыс. руб.

б) По формуле (4.1) при n=3, F=40 тыс. руб., d=0,25 получим:

Поэтому дисконт составит 40–16,875=23,125 тыс. руб.

Задача 2

Вексель на сумму 70 тыс. руб. со сроком погашения через 4 года учтен за 32 месяца по сложной учетной ставке 24% годовых. Определить суммы, которые получит предъявитель векселя при различных способах учета.

Решение

При применении сложной учетной ставки воспользуемся формулой (4.1) при n=32/12=8/3, F=70 тыс. руб., d=0,24, поэтому:

Владелец векселя получит 33, 672 руб.

При применении смешанной схемы воспользуемся формулой (4.4) при w=2, f=2/3:

Таким образом, владелец векселя получит большую сумму при использовании смешанной схемы.

Задача 3

Рассчитать дисконтированную сумму при учете 1 млн. руб. по простой и сложной учетной ставкам, если годовая учетная ставка равна 18% годовых и учет происходит за 30 дней, 90 дней, 180 дней, 1 год, 2 года, 3 года, 5 лет. Каждый год считать равным 360 дней.

Решение

Применяя формулу (2.1) для простой учетной ставки и формулу (4.1) для сложной учетной ставки при F=1 млн. руб., d=0,18 и различных n, получим:

Млн. руб.

Способ дисконтирования	30 дней n=1/12	90 дней n=1/4	180 дней n=1/2	1 год n=1	2 года n=2	3 года n=3	5 лет n=5
Простая ставка	0.985	0.955	0.91	0.82	0.64	0.46	0.1
Сложная ставка	0.984	0.952	0.905	0.82	0.67	0.55	0.37

Задача 4. Долговое обязательство на выплату 46 тыс. руб. учтено за 4 года до срока погашения. Определите полученную сумму. Если производилось: а) полугодовое; б) поквартальное; в) ежемесячное дисконтирование по сложной учетной ставке 24% годовых.

Решение

а) При F=46; d=0,24; n=4; m=2 по формуле (4.3) получим:

б) При F=46; d=0,24; n=4; m=4 по формуле (4.3) получим:

в) При F=46; d=0,24; n=4; m=12 по формуле (4.3) получим:

Сравнивая полученные результаты, делаем вывод, что с ростом числа осуществлений операций дисконтирования в году величина учетного капитала возрастает.

Задача 5

Вклад в размере 20 тыс. руб. помещен в банк на 5 лет, причем предусмотрен следующий порядок начисления сложных процентов по плавающей годовой учетной ставке: в первые 2 года – 16%, в следующие 2 года – 19%, в оставшийся год – 23%. Определить наращенную сумму. При использовании какой постоянной учетной ставки можно получить такую же сумму?

Решение

Наращенную сумму за первые 2 года определяем по формуле (4.2) при Р=20; n=2; d=0,16:

Наращенную сумму за следующие 2 года определяем по формуле (4.2) при Р=20; n=2; d=0,19:

Наращенную сумму за последний год определяем по формуле (4.2) при Р=20; n=2; d=0,23:

тыс. руб.

Постоянную годовую учетную ставку d, дающую тот же результат, находим из равенства:

d=0,1864=18,64%.

Задача 6

За долговое обязательство в 80 тыс. руб. банком было выплачено 62 тыс. руб. За какое время до срока погашения было учтено это обязательство, если банком использовалась: а) годовая сложная учетная ставка 28% годовых; б) годовая простая учетная ставка 28% годовых?

Решение

а) По формуле (4.6) при Р=62 тыс. руб., F=80 тыс. руб.; m=1; d=0,28; получим:

года= 280 дней.

б) По формуле (2.6) при Р=62 тыс. руб., F=80 тыс. руб.; d=0,28; получим:

года= 290 дней.