Тема 9. Непрерывный и переменный аннуитеты

Если в течение каждого базового периода денежные посту­пления происходят очень часто, так что промежутки между по­следовательными поступлениями представляют собой беско­нечно малые величины, то аннуитет считают непрерывным, т.е. денежные поступления происходят непрерывно с постоянной интенсивностью: одно и то же количество денежных единиц в единицу времени.

Аннуитет называется переменным, если его члены различны по величине. Для оценки переменного аннуитета используют, вообще говоря, общие формулы оценки денежного потока.

Если члены аннуитета изменяются в соответствии с неко­торыми законами (в частности, образуют арифметическую или геометрическую прогрессию), то общие формулы для определе­ния будущей или приведенной стоимости аннуитета можно уп­ростить.

Чтобы при оценке переменного аннуитета без явно выра­женной зависимости между его членами пользоваться стандарт­ными формулами, надо стараться представить этот аннуитет в виде суммы или разности постоянных аннуитетов.

Основные формулы раздела

Оценка непрерывного аннуитета:

(9.1)

(9.2)

Оценка непрерывного аннуитета в случае начисления непрерывных процентов:

(9.3)

(9.4)

Оценка переменного аннуитета постнумерандо, платежи которого образуют арифметическую прогрессию:

(9.5)

(9.6)

Оценка переменного аннуитета постнумерандо, платежи которого образуют геометрическую прогрессию:

(9.7)

(9.8)

Типовые задачи с решениями

Задача 1

В течение 4 лет на счет в банке ежедневно бу­дут поступать одинаковые платежи, каждый год составляя в сумме 10 тыс. руб. Определите сумму, накопленную к концу четвертого года при использовании процентной ставки 15% го­довых, если начисление сложных процентов осуществляется ежегодно.

Решение

Полагаем n =4, т =1, r =15%. Поскольку пла­тежи поступают достаточно часто, будем считать, что они по­ступают непрерывным образом. Тогда можно воспользоваться формулой (9.1) для определения наращенной суммы непрерывного аннуитета при тыс.руб.

тыс. руб.

Сравним этот результат со значением, полученным по фор­муле р- срочного аннуитета, предполагая, что в году 360 дней и дан аннуитет постнумерандо. Так как р = 360, А = 10/360, получим:

тыс. руб.

Видим, что полученные величины отличаются незначитель­но (всего на 11 руб.).

Задача 2

Фирма намеревается выпускать некоторую продукцию в течение трех лет, получая ежегодно выручку в размере 30 млн. руб. Предполагается, что продукция в течение года будет продаваться более или менее равномерно. Оцените ожидаемые денежные поступления, если применяется непре­рывная ставка 20% за год.

Решение

Поскольку в условии говорится о более или менее равномерном распределении продаж в течение года, то логично предполагать, что интенсивность потока выручки будет в какой-то мере постоянной величиной, равной 30 млн руб. в год. Счи­тая, что денежные поступления происходят непрерывно, вос­пользуемся формулами для определения соответ­ственно будущей и приведенной стоимости непрерывного ан­нуитета (9.3) и (9.4). Полагая млн руб., п = 3,  = 0,2, получим:

млн.руб.

млн.руб.

Задача 3

Финансовая компания в течение пяти лет в соответствии со своими обязательствами должна выплачивать вкладчикам по 20 млн. руб. ежегодно. Какой суммой должна располагать компания, чтобы иметь возможность выполнить обязательства, если норма доходности составляет 30% за год и выплаты происходят постоянно и достаточно равномерно?

Решение

Воспользуемся формулой (9.2) для определения приведенной стоимости непрерывного аннуитета, при , n=5, m=1, r=30%:

млн. руб.

Таким образом, имея 55,7 млн. руб., компания способна выполнить свои обязательства перед вкладчиками.

Задача 4

Согласно условиям финансового соглашения на счет в банке в течение 8 лет: а) в конце года; б) в начале года будут поступать денежные суммы, первая из которых равна 4 тыс. руб., а каждая следующая будет увеличиваться на 0,5 тыс. руб. Оцените этот аннуитет, если банк применяет процентную ставку 20% годовых и сложные проценты начисляются один раз в конце года. Как изменятся оценки аннуитета, если денежные суммы будут уменьшаться на 0,5 тыс. руб.?