4Рівномірний рух рідини в трубах, гідравлічний опір і розподіл швидкостей по перерізу потоку

4.1Рівномірний рух рідини в трубах

Загальний вираз для втрат напору (Losses of pressure) на тертя при рівномірному русі рідини в трубах справедливий як для ламінарного, так і турбулентного режимів.

При рівномірному русі величина середньої швидкості і розподілення швидкості по перерізу повинні залишатися незмінними по довжині трубопроводу. Тому рівномірний рух можливий лише в трубах сталого перерізу, коли при заданій витраті крапельної рідини Q середня швидкість буде незмінною .

Рівномірний рух має місце в прямих трубах або в трубах з дуже великим радіусом кривизни R   (прямолінійний рух), оскільки в іншому разі середня швидкість змінюється за напрямком. Нарешті, умову незмінності по довжині труби характеру розподілу швидкості по живому перерізу можна записати у вигляді  = const, де  – коефіцієнт Коріоліса.

В прямолінійному трубопроводі геометричного радіуса r₀ виділимо перерізами 1 і 2 ділянку довжиною l. Крім того, виділимо в трубопроводі перерізами 1 і 2 співвісний циліндр радіусом r і довжиною також l (рис. 4.1).

Оскільки розподіл швидкостей в обох перерізах згідно з припущенням однаковий, то частинки рідини при переході від першого перерізу до другого не зазнають прискорення. Тому можна вважати, що сили, які прикладені до циліндрів, знаходяться в рівновазі.

Рівняння рівноваги на проекції на вісь труби для циліндра радіусом r₀ можна записати в такому вигляді

, (4.1)

або

, (4.2)

де Т – дотичні сили опору, , Н;

₀ – дотичне напруження (Tangent tension) на стінці труби, Па ;

₀ – змочений периметр живого перерізу потоку в трубі

геометричним радіусом r₀ , м ;

₀  l – повна поверхня, де проявляються дотичні сили опору, м² ;

 – площа живого перерізу труби, , м² ;

Р₁ , Р₂ – тиск відповідно в перерізі 1 і 2 , Па.

І з рівняння (4.2) перепад тиску між перерізами 1 і 2 складе

, (4.3)

де R – гідравлічний радіус, , м.

Перепад тиску, який віднесений до труби довжиною один метр, складе

, Па/м (4.4)

Гідравлічний нахил (Hydraulic inclination)

, (4.5)

де h_l – втрата напору на тертя між перерізами 1 і 2, м.

Із (4.5)

(4.6)

або

, (4.7)

де – динамічна швидкість (Dynamic speed), м/с .

Для круглої труби діаметром d і радіусом r₀

, (4.8)

, (4.9)

Для виділеного співвісного циліндра радіусом r

. (4.10)

Для всієї круглої труби радіусом r₀ і співвісного циліндра радіусом r перепад тиску однаковий, тоді

. (4.11)

Із (4.11) видно, що закон розподілу дотичних напружень  по перерізу труби лінійний (див. рис. 4.1).

Втрата напору по довжині труби для ламінарних та турбулентних течій визначається за відомою формулою Дарсі-Вейсбаха

, (4.12)

де  - коефіцієнт тертя (Coefficient of friction) по довжині труби;

v – середня по перерізу потоку швидкість рідини.

Зв’язок між коефіцієнтом тертя по довжині труби  і дотичним напруженням на стінці труби  має такий вигляд

, (4.13)

, (4.14)

Залежність (4.14) легко вивести із відомої залежності Дарсі-Вейсбаха (4.12) і (4.3).

4.2Ламінарна і турбулентна течія, число Рейнольдса

Існує два режими течії рідини : ламінарний і турбулентний. При ламінарному режимі (The Laminar mode) рідина рухається струминками або шарами без взаємного перемішування. При турбулентному режимі (Turbulent mode), навпаки, відбувається досить сильне перемішування частинок рідини.

Безрозмірне число Рейнольдса дозволяє судити про характер руху рідини

, (4.15)

де l – характерний лінійний розмір потоку, м ;

 – кінематична в’язкість рідини, м²/с .

Для труб круглого перерізу число Рейнольдса розраховують за формулою

, (4.16)

де d – діаметр труби, м .

Для всіх інших поперечних перерізів (а також для відкритих русел)

, (4.17)

або

, (4.18)

де d_е – еквівалентний (гідравлічний) діаметр, м, .

Критерієм, який визначає режим потоку є нерівність

,

де Re_кр – критичне значення числа Рейнольдса.

Критичним значенням числа Рейнольдса можна вважати :

– відповідно до формули (4.16) Re_кр = 2000...2400 ;

– відповідно до формули (4.17) Re_кр = 500...600 .

Якщо заміряти швидкість в турбулентному потоці в певній точці, то характер зміни швидкості в часі буде мати вигляд, близький до показаного на рис. 4.2.

Для миттєвих значень складових швидкості і тиску мають місце співвідношення:

(4.19)

д е – інтеграл на достатньо великому проміжку часу від дійсного значення швидкості, тобто осереднена в часі складова дійсного значення швидкості вздовж осі х; .

Тоді усереднені в часі значення пульсаційних величин будуть дорівнювати нулю

.

Пульсаційні складові швидкості, як і всі інші періодично змінні величини, можуть бути охарактеризовані частотою  і амплітудою А. Турбулентний рух має широкий діапазон величин А і . В кожній точці турбулентного потоку мають місце пульсаційні швидкості з цілим спектром частот : низькі – 5...10 Гц, дуже високі – 50...100 Гц. Переважають завжди низькочастотні коливання.

Середня амплітуда пульсації характеризується величинами

(4.20)

Ступенем інтенсивності турбулентності називають відношення середньоквадратичної величини швидкості пульсації до середньої швидкості потоку

(4.21)

де .

Величина інтенсивності турбулентності змінюється від 0,3 % в атмосфері до 7...8 % і більше в машинах.

Природа дотичних напружень, які виникають в турбулентному пото-

ці, більш складна, ніж в ламінарному. В процесі турбулентного перемішування маси рідини із центральної частини труби попадають в область потоку біля стінок, і навпаки, частинки, які рухаються біля стінок – в центральну область потоку. Маси, які переміщуються із центральної частини потоку до периферії, мають більші повздовжні швидкості, ніж ті, що переміщуються в протилежному напрямку, оскільки осереднена місцева швидкість більша в центральній області потоку. Маси, які рухаються з меншими швидкостями, коли попадають в область більших осереднених швидкостей, гальмують рух рідини в цій області. Таким чином, обмін масами рідини в потоці в поперечному напрямку призводить до відповідного обміну кількістю руху.

Для найпростішого випадку плоскопаралельного турбулентного потоку, який тече вздовж осі х , можна записати

. (4.22)

Перший доданок відповідає в’язкісним дотичним напруженням, які визначаються за гіпотезою Ньютона, а другий _т – турбулентним напруженням.

Якщо подати турбулентні напруження за аналогією із законом Ньютона

, (4.23)

то величину А в цій формулі можна розглядати як коефіцієнт “турбулентної в’язкості“, викликаний макропереносом кількості руху скінченних об’ємів рідини поперечними пульсаціями швидкості. Якщо на випадок руху в плоскій трубі припустити, що величина А стала по перерізу, і визначити її за виміряним опором труби, то виявиться, що вона в десятки разів перебільшує величину коефіцієнта молекулярної в’язкості .