11 Межовий шар нестисливої рідини

В сучасних умовах широко використовується «зшиття» рішень: характеристики ядра потоку знаходяться із розв’язання задачі потенціальної течії, а для врахування особливостей пристінного руху застосовується теорія межового шару. Одна із найбільш важливих практичних задач механіки рідини та газу – це визначення опору. На величину відповідного коефіцієнту опору, в основному, впливає гідродинамічна обстановка в безпосередній близькості від твердої межі потоку, в так званому межовому шарі. Оскільки розрахувати деталі течії в цій області на основі розв’язання рівнянь Навьє-Стокса не є можливим в силу нелінійності і складності останніх, то виникає необхідність в якихось задовільних наближеннях, одним із котрих є теорія межового шару.

Німецький інженер і математик Л. Прандтль в 1904 році опублікував теорію межового шару. Це велике відкриття в історії механіки рідини, воно дозволило зрозуміти багато уявних парадоксів в поведінці реальної рідини.

11.1Основні поняття і залежності

Види і структура межового шару

Н а пластину натікає потік газу зі сталою швидкістю u_ (рис. 11.1)

Нема відриву струмини, але вздовж пластини виникає так званий межовий шар (МШ) рідини, поперечні розміри  котрого збільшуються вниз по течії. Поза цим шаром швидкість потоку така, якою вона була б при відсутності пластини, тобто вплив в’язкості тут може бути знехтуваним. Навпаки, в межах межового шару сили в’язкості виявляються настільки суттєвими, як і сили інерції.

МШ починається у передній точці обтічного тіла, розповсюджується по всій його поверхні; при цьому він поступово розширюється. Практично за товщину шару беруть ту відстань від пластини, де швидкість відрізняється не більше ніж на 1% від швидкості незбуреного потоку u_ (рис. 11.1).

МШ може бути ламінарним або турбулентним. Від стану МШ значною мірою залежить і величина опору тертя, МШ = f(Re_х)

. (11.1)

Для плоскої пластини ламінарний межовий шар переходить в турбулентний при

. (11.2)

де х_кр – довжина від переднього ребра пластини до кінця ламінарної частини межового шару.

Якщо L < х_кр, то весь межовий шар буде ламінарним; при L > х_кр – частина межового шару буде ламінарною, а частина – турбулентною (змішаний межовий шар).

Опір пластини в потоці при обтіканні її вздовж

Для визначення величини опору тертя застосовується залежність

, (11.3)

де  – площа обтічної поверхні тіла;

C_F – коефіцієнт опору тертя.

Розглянемо пластину довжиною L, шириною l, площею , яку обтікає потік рідини. Виділяємо перерізи 1 та 2.

Застосуємо теорему про кількість руху. Різниця кількості руху рідини, яка протікає в одиницю часу через вказані перерізи, повинна дорівнювати сумі всіх сил, які діють на рідину на ділянці довжиною х між перерізами 1 і 2.

Р озглянемо елементарну площадку 1dy другого перерізу потоку. Маса рідини, яка протікає через цю площадку – ρu1dy, де u1dy – об’єм рідини, яка проходить через площадку в одиницю часу. Втрата швидкості, яка визвана гальмівною дією пластини, дорівнює u_∞ - u. Таким чином зменшення кількості руху за рахунок сил тертя:

. (11.4)

Втрата кількості руху стосується тільки тих частинок, котрі знаходяться всередині межового шару, для решти маси рідини u = u_∞, отже, u_∞ - u = 0. Тому шукана різниця кількості руху рідини, яка протікає в одиницю часу через перший і другий переріз потоку, виразиться інтегралом

, (11.5)

який розповсюджений тільки в межах межового шару і при тому по обидві сторони пластини (це враховується множником 2 ).

Опір тертя тієї частини пластини, котра розміщена між перерізами 1 і 2

, (11.6)

де τ₀ – напруження тертя на довільному елементі поверхні.

Відповідно до теореми імпульсів

(11.7)

або . (11.8)

Диференціюючи обидві частини останнього виразу за x, отримаємо

. (11.9)

Рівняння (11.9) являє собою спрощену форму так званого інтегрального співвідношення Кармана, справедливого як при ламінарному, так і турбулентному режимах.

При ламінарному обтіканні пластини наближено приймемо лінійний закон розподілення швидкостей

. (11.10)

Згідно із законом Н’ютона, дотичні напруження на стінці

. (11.11)

Визначимо тепер значення інтеграла, який входить в ліву частину рівняння (11.9)

. (11.12)

Підставимо (11.12) в (11.9)

(11.13)

або з врахуванням (11.11)

. (11.14)

Відповідно товщина межового шару, дотичне напруження на відстані х від переднього ребра пластини

; (11.15)

. (11.16)

Повний опір тертя пластини довжиною L з обох боків

, (11.17)

.

Коефіцієнт опору тертя

, (11.18)

де Re = u_∞ L / .

Проведений Блазіусом більш точний розрахунок дозволив отримати таку залежність

. (11.19)

У випадку турбулентного обтікання можна використати дані, які отримані при дослідженні турбулентного руху рідини в трубі, діаметром d

, (11.20)

де – середня швидкість потоку в трубі;

. (11.21)

Рівнянням (11.21 ) можна користуватися для оцінювання опору тертя, яке відбувається біля поверхні пластини. Переходимо із середньої швидкості в трубі до швидкості на осі труби

u_max ( ≈ 0,8164u_max), u_∞ = u_max, δ = r,

де δ – товщина межового шару,

r – радіус труби, тоді

. (11.22)

Приймаємо розподіл швидкості в межовому шарі

. (11.23)

Тоді відповідно товщина межового шару, дотичне напруження на відстані х від переднього ребра пластини

, (11.24)

. (11.25)

Опір тертя пластини довжиною L і шириною 1 м при односторонньому обтіканні

. (11.26)

Коефіцієнт тертя

, (11.27 )

де Re = u_∞ L /.

Узагальнена формула Альтшуля (11.27) для коефіцієнта опору тертя пластини дійсна для всієї області турбулентної течії.

На випадок, коли

або , (11.28)

що характерно для обтікання моделей (мала шорсткість поверхні, малі швидкості), рівняння (11.27 ) приймає вигляд

- одностороннє обтікання:

. (11.29)

На випадок, коли

або , (11.30)

що характерно для великих швидкостей і значної шорсткості, рівняння приймає вигляд

. (11.31)

Більш строга залежність при умовах (11.28 )

, (11.32)

при умовах (11.30 )

. (11.33 )