4.3Ламінарна течія. Гідравлічний опір і розподіл швидкостей по перерізу потоку

Ламінарна течія є строго упорядкованою, шаровою течією без переміщення рідини. Теорія ламінарної течії базується на законі тертя Ньютона. Це тертя між шарами рідини, що рухається, є єдиним джерелом втрати енергії в даному випадку.

Н а рис. 4.3 подана схема усталеної ламінарної течії рідини в прямій круглій циліндричній трубі з внутрішнім діаметром d = 2r₀. Щоб виключити вплив сили ваги і цим спростити виведення, прийнято, що труба розташована горизонтально. Досить далеко від входу в ній, де потік уже цілком сформувався (стабілізувався), виділено відрізок довжиною l між перерізами 1-1 і 2-2.

Нехай в перерізі 1-1 тиск дорівнює Р₁, а в перерізі 2-2 – Р₂. зважаючи на те, що діаметр труби сталий, швидкість рідини буде також сталою, а коефіцієнт  буде незмінним вздовж потоку внаслідок його стабільності, тому рівняння Бернуллі для вибраних перерізів приймає вигляд

, (4.24)

де h_l – втрати напору на тертя по довжині.

Звідсілля

, (4.25)

що і показують п’єзометри, які встановлені в цих перерізах.

В потоці рідини виділено циліндричний об’єм радіусом r, який має основи у вибраних перерізах. Запишемо рівняння рівномірного руху виділеного об’єму рідини в трубі, тобто рівність нулю суми сил, які діють на об’єм: сил тиску і опору

,

звідкіля дотичне напруження на боковій поверхні циліндра

. (4.26)

Епюра дотичних напружень показана на рис. 4.3. Зміна  лінійна. Епюра не залежить від режиму течії.

Виразимо  за законом тертя Ньютона через динамічну в’язкість  і поперечний градієнт швидкості

. (4.27)

Знак мінус обумовлений тим, що напрямок підрахунку r (від осі до стінки) протилежний напрямку підрахунку у (від стінки).

Поєднуючи два рівняння (4.26) і (4.27) маємо

. (4.28)

Звідсіля приріст швидкості

.

При додатному прирості радіуса маємо від’ємний приріст (зменшення) швидкості, що відповідає профілю швидкостей на рис. 4.3.

Виконавши інтегрування, одержимо

. (4.29)

Сталу інтегрування С₁ знайдемо із умови, що на стінці при r = r₀, u = 0

.

Швидкість по колу радіусом r

. (4.30)

Цей вираз є законом розподілення швидкостей по перерізу круглої труби при ламінарній течії. Крива (4.30) є параболою другого степеня.

Максимальна швидкість (Lofty speed) в центрі перерізу при r₀

. (4.31)

Відношення є сталим вздовж прямої труби сталого

діаметра.

Визначимо об’ємну витрату рідини Q через переріз труби. Для цього виразимо спочатку елементарну витрату через нескінченно малу площадку ds: dQ = u ds. В даному випадку u є функцією радіуса, яка визначається за залежністю (4.30), а площадку ds доцільно взяти у вигляді кільця радіусом r і шириною dr , тоді

. (4.32)

Після інтегрування по всій площі поперечного перерізу, тобто від r = 0 до r = r₀

. (4.33)

Середню по перерізу швидкість знайдемо діленням витрати на площу

. (4.34)

Порівняння цього виразу із залежністю (4.28) показує, що середня швидкість при ламінарній течії в два рази менша максимальної _ср = = 0,5v_max.

Закон опору, тобто вираження втрати h_l на тертя через витрату і розміри труби. Визначимо Р_l із формули (4.34)

. (4.35)

Розділемо цей вираз на g (Р_l = h_lg), а також перейшовши від r₀ до d = 2r₀, знайдемо

. (4.36)

Тут h_l  Q, h_l v, h_l  1/d⁴. Цей закон, який звичайно називають законом Пуазейля, використовується для розрахунку трубопроводів з ламінарною течією.

Зведемо закон опору (4.36) до вигляду формули Дарсі-Вейсбаха

. (4.37)

Для цього у формулі (4.37) замінимо витрату добутком d²v_ср/4 і помноживши і розділивши на v_ср і перегрупувавши множники, після скорочення одержимо

,

або, привівши до вигляду формули (4.37), знайдемо

,

де _л – коефіцієнт гідравлічного тертя для ламінарної течії, тобто

. (4.38)

Втрата напору на тертя по довжині при ламінарній течії пропорційна швидкості в першому степені, h_l  v_ср.

Коефіцієнт Коріоліса , який враховує нерівномірність розподілення швидкостей по перерізу труби в рівнянні Бернуллі для випадку стабілізованої ламінарної течії рідини в круглій трубі, легко визначити, знаючи закон розподілення швидкостей по перерізу труби

. (4.39)

Тут використані залежності для u і v_ср (4.29) і (4.34). Позначимо змінну через Z, знайдемо

. (4.40)

Отже, дійсна кінетична енергія ламінарного потоку з параболічним розподілом швидкостей в 2 рази перевищує кінетичну енергію того ж потоку, але при рівномірному розподілі швидкостей.

Таким же шляхом можна показати, що секундна кількість руху ламінарного потоку з параболічним розподілом швидкостей в  раз більша кількості руху того ж потоку, але при рівномірному розподілі швидкостей. Причому коефіцієнт  називається коефіцієнтом Бусінекса, в даному випадку  = 4/3.

Викладена теорія ламінарної течії в круглій трубі добре підтверджується дослідженнями. Виведений закон опору звичайно не потребує якихось поправок, за винятком таких випадків:

• при течії на початковій ділянці труби, де відбувається поступове формування параболічного профілю швидкостей;

• при течії з теплообміном;

• при течії в капілярі і зазорах з облітерацією;

• при течії з великим перепадом тиску.