10.2Рівняння Гюгоніо

Якщо всі кінематичні, динамічні і термодинамічні величини газового потоку є функціями тільки однієї координати і часу, то такий потік назива-

ється одновимірним.

При наближених розрахунках газових потоків в трубах в багатьох випадках можна задовольнитися спрощеною одновимірною стаціонарною схемою. Приймаючи вектор швидкостей в даному перерізі труби чи каналу направленим вздовж осі, а величини швидкості C, тиску Р, густини  і температури Т сталими по перерізу, будемо розглядати їх як величини, котрі змінюються від перерізу до перерізу каналу, причому закон зміни площини перерізу  вздовж оісі x будемо вважати заданим, тобто

. (10.27)

Візьмемо за основний аргумент прямолінійну декартову координату х, яка відраховується вздовж осі каналу вниз за потоком від деякого початкового перерізу. Потік будемо вважати адіабатним, а газ досконалим (ідеальним). При цих умовах рух газу можна вважати ізоентропійним.

Користуючись рівнянням Ейлера

(10.28)

і рівнянням безперервності

, (10.29)

легко встановити диференціальні співвідношення між змінами швидкості і площини перерізу труби. Для цього перетворимо (10.5) до вигляду

, (10.30)

де - швидкість звуку.

Візьмемо від обох частин (10.29) логарифмічний диференціал; тоді отримаємо

. (10.31)

Виключаючи за допомогою цієї рівності густину в попередньому рівнянні, знайдемо

або, поділивши обидві частини на а²,

(10.32)

Із отриманого рівняння (яке носить ім’я Гюгоніо) витікають висновки:

- якщо М  1, то знак dС протилежний знаку d; це дозвукова течія; збільшення швидкості буде відбуватись у каналі, який звужується (рис. 10.2, а);

- якщо М  1, знак dС однаковий зі знаком d, це надзвукова течія; збільшення швидкості буде відбуватись в каналі, який розширюється (рис. 10.2, б);

- якщо М = 1, то d = 0; відповідний переріз труби буде критичним;

- якщо d = 0 і переріз х_кр екстремальний (максимальний чи мінімальний), то або М = 1 і, отже, цей переріз критичний (х_кр), або М  1 і dС = 0.

10.3Приклади

10.3.1 Визначити необхідний внутрішній діаметр димової труби висотою Н = 120 м для видалення гарячих газів при масовій втраті G = =100 кг/с. Температура зовнішнього повітря t = 20 С, барометричний тиск біля поверхні землі P_a = 1,02610⁵ Па. Температура гарячих газів t₁ = = 250 C, початковий їх тиск P₁ = 0,997 бар, густина газів _г = 1,295 кг/м³ при t₀ = 0 С і Р₀ = 100 кПа. Шорсткість внутрішньої поверхні труби k_e = 2 мм.

Розв’язування

Враховуючи незначну зміну тиску і густини газів на вході і виході із труби, скористаємось рівнянням Бернуллі без врахування стисливості.

Тиск на виході із труби

,

де _а, Р_а – густина і тиск повітря біля поверхні землі.

кг/м³.

Па.

Початкова густина гарячих газів

кг/м³.

За табл. А.15 для димових газів (Р=1,0110⁵; , де , , – відповідно парціальні тиски , водяної пари і в димових газах) – . Кінематична в’язкість газів при Р = 1,0110⁵ Па, t = 250 ^оС і , .

В подальшому використовуємо метод підбору, для цього приймаємо три значення діаметра димової труби d₁ = 3 м, d₂ = 4 м, d₃ = 5 м.

Для цих значень середня швидкість гарячих газів в трубі, враховуючи ₁ = 0,69кг/м³ на всій протяжності труби

м/с,

аналогічно С₂ = 11,54 м/с, С₃ = 7,38 м/с.

Відповідно до числа Рейнольдса

.

На границі змішаного і шорсткого тертя:

У двох перших випадках Re>Re_гр. і для визначення гідравлічного коефіцієнта тертя використаємо формулу Мурина:

,

.

Оскільки 10⁵ < Re₃ < Re_гр³ при d₃=5м, то використовуємо формулу Альтшуля

.

Враховуючи, що при початковому тиску:

Па,

швидкість газів C₁= 0, залишимо рівняння Бернуллі для початкового і кінцевого перерізів газового потоку:

.

І оскільки Z₁ – Z₂ = H, то

.

Враховуючи, що

,

маємо

.

Останнє рівняння розв’язуємо графоаналітичним методом, маючи на увазі що задане Р_з=Р₁ – Р₂=0,9971,02610⁵ – 1,01110⁵=1192,2

Результати розрахунків кривої =f(d) при Н=120 м і G=120 кг/с зводимо в таблицю

Номер п\п	d, м			,Па
1	2,8	0,0177	0,0287	1330
2	3	0,178	0,021	1169
3	4	0,0167	0,00586	911
4	5	0,0162	0,0222	849

Д алі будуємо залежність і знаходимо d = 2,92м (рис. 10.3)

10.3.2 В сталевому трубопроводі діаметром d = 0,1м і довжиною l = 100 м подається стисле повітря під тиском абсолютним Р₁ = 900 кПа. Температура повітря t = 20 ^оС. Швидкість на початку трубопроводу С₁ = 30 м/с. Визначити масову витрату повітря G і тиск в кінці труби Р₂. Кінематична в’язкість повітря = 15,710^-6 м²/с. Абсолютна шорсткість стінок трубопроводу k_е = 0,3 мм.

Розв’язування

Густина повітря на початку труби

кг/м³.

Масова втрата стислого повітря

кг/с.

Число Рейнольдса

.

Відносна шорсткість

.

Коефіцієнт гідравлічного тертя

.

Тиск в кінці трубопроводу знаходимо за формулою

;

;

P₂= 735724,8 Па