3.5Приклади

3.5.1 Визначити масову витрату гарячої води в трубопроводі з внутрішнім діаметром d_вн = 412 мм, якщо відомо, що середня швидкість води v = 3 м/с, а густина _в = 917 кг/м³.

Розв’язування

Оскільки через будь-який переріз трубопроводу за 1 с протікає води

м³/с,

то масова витрата води розраховується як

кг/с.

3.5.2 Визначити рівняння лінії течії, а також траєкторію частинки, яка проходить в момент часу _о = 0 через точку простору з координатами х_о і у_о.

Поле швидкостей газу задано проекціями

Дано: х_о =5; у_о = 3; а = 3; t = 2; b = 3.

Розв’язування

Диференціальне рівняння траєкторії руху частинки

а для заданого поля швидкостей

звідкіля

Проінтегрувавши, маємо

або

довільні сталі інтегрування знаходимо із початкових умов ( = 0, x_o=5, y_o=3). Підставивши ці значення, маємо

Таким чином

Виключаємо час, знаходимо рівняння траєкторії

Для знаходження лінії течії використовуємо рівняння . Для заданого поля швидкостей

Після інтегрування

Для лінії течії, яка проходить через точку х_о = 5; у_о = 3, довільна стала

Поле швидкостей нестаціонарне, але лінія течії і траєкторія збігаються. Це тому, що з часом швидкість змінюється лише за величиною, а не за напрямком, тобто одиничний вектор поля швидкостей не залежить від часу.

3.5.3 Визначити прискорення рідинної частинки в точці А з координатами x = d, y = e, z = g (x, y, z в метрах) в момент часу . Задані проекції швидкостей рідинних частинок u = (ax) / (1+); v = (by) / (1+); w = (cz) / ( +1).

Дано: а = 4; b = 2; c = 3; d = 1; e = 7; g = 2;  = 3.

Розв’язування

Записуємо вираз для компоненти прискорення

З врахуванням значення u маємо

Аналогічно для а_у i a_z

Повне прискорення частинки

в момент часу  = 3 для точки А маємо

м/с².

3.5.4 Чи може поле швидкостей нестисливої рідини мати потенціал: 1)  = 2(х² – у²); 2)  = 3х² – 2у.

Розв’язування

Плоский потік нестисливої рідини має потенціал швидкості  , який повинен задовольняти рівняння Лапласа

Поле швидкостей нестисливої рідини може мати потенціал 1, оскільки

і не може мати потенціал 2, оскільки

3.5.5 Визначити, при якому значенні коефіцієнта b можливі течії нестисливої рідини з такими проекціями поля швидкостей: а) u = bx, v=by; б) u=2bx, v= -2by. Визначити характер можливих течій.

Розв’язування

Коли рухається нестислива рідина, необхідно розв’язати рівняння нерозривності

В першому випадку: якщо b=0.

Отже, u = 0, v = 0, тобто рух відсутній.

У другому випадку:

Ця умова виконується при будь-якому значенні коефіцієнта b.

При _х = _у = 0 течія потенціальна.

Визначаємо лінії течії (х,у)

Визначаємо еквіпотенціальні лінії (х,у)

3.6Завдання на срс

3.6.1 По трубопроводу подається 0,314 м³/с води. Визначити діаметр трубопроводу, якщо швидкість води дорівнює 2 м/с.

Відповідь: d = 0,445 м.

3.6.2 Одержати вираз для проекцій локальних прискорень рідинної частинки, якщо рівняння руху мають вигляд x = ln sin , y = sin², z = 0.

Відповідь: а_х = – cosec²; а_y = 2cos2.

3.6.3 Визначити прискорення рідинної частинки, якщо поле задано проекціями швидкостей: u = bcos(b); v = bsin(b); w = 0.

Відповідь: .

3.6.4 Визначити прискорення рідинної частинки в точці простору з координатами х = 3, у = 2, z = 1, якщо поле задано проекціями швидкостей

u = 2x, v = y² + 2, w = z³ + 1.

Відповідь: а = 27,5 м/с².

3.6.5 Рух нестисливої рідини заданий проекціями швидкостей v = = -3y+2; w = 2z + 1. Встановити вигляд виразу для проекції швидкості на вісь х, якщо на початку координати u = 2.

Відповідь: u = х + 2.

3.6.6 Рух задано проекціями швидкостей u = -asin , v = bcos . Знайти рівняння лінії течії, а також траєкторію частинки, яка проходить в момент часу t=0 через точку простору з координатами х = a, y = b.

Відповідь: Рух частинок відбувається по еліпсу , де лінія течії - b(x+cos  - a) + aysin  = 0.

3.6.7 Перевірити можливість існування руху нестисливої рідини для поля, яке задане проекціями швидкостей u =-6(x+y)², v=2y+z³, w=x² + y² + 4z.

Відповідь: Рух можливий.

3.6.8 Одержати вираз для лінії течії, якщо проекції швидкостей u = xy, v = -2x(x–1).

Відповідь: . Лінії течії – еліпси, осі яких перетинаються в точці (1, 0).

3.6.9 Знайти рівняння для лінії течії, яка проходить через точку з координатами x = 1, y = -1, z = 2, якщо проекції швидкостей u = x, v = -y, w = -2z.

Відповідь: ху = -1,2у² = z.

3.6.10 Чи може поле швидкостей нестисливої рідини мати потенціали, якщо: а)  = 2x/(x² + y²); б)  = 2xy; в)  = arc tg(y/x).

Відповідь: a) . Лінії течії – концентричні кола, які дотичні до осі х в точці 0.

3.6.11 Знайти рівняння лінії течії, а також траєкторію частинки, яка проходить в момент часу  = 0 через точку простору з координатами х = с і у = d, якщо поле швидкостей газу задано проекціями ; ; w = 0.

Остання цифра шифру	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
а	2	3	4	5	6	7	8	9	3	4
b	1	2	3	4	5	6	7	8	9	2
Передостання цифра шифру	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
c	3	5	7	9	8	7	6	5	4	3
d	4	6	8	8	7	6	5	4	3	2

3.6.12 Визначити прискорення рідинної частинки в точці А з координатами х = d, у = e, z = g в момент часу  по заданих проекціях швидкостей ; ; .

Остання цифра шифру	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
а	1	2	3	4	1	2	3	4	5	6
b	3	1	2	2	4	5	4	3	2	1
c	2	3	5	6	3	3	5	2	3	4
Передостання цифра шифру	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
d	1	2	3	4	5	6	7	8	9	1
e	8	7	6	5	4	3	2	1	2	4
g	2	3	4	6	3	4	5	4	5	7
	2	3	4	5	6	7	8	9	1	2

3.6.13 Визначити швидкість руху рідини за величиною та напрямом в точці М з координатами х, у, якщо рух є результатом складання двох течій, для яких задані відповідні потенціали швидкостей ₁ і ₂. Визначити траєкторію частинок. ₁ = ах і ₂ = bу.

Остання цифра шифру	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
а	1,5	2,5	3,5	4,5	5,0	5,5	6,0	6,5	7,0	8,0
Передостання цифра шифру	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
b	1	2	3	4	5,2	6,2	7,2	1,6	1,8	2,9