Общие вопросы теории множеств

Множество может быть конечным:

Например, множество С точек на плоскости, лежащих внутри или на границе круга с центром в начале координат, может быть записано в виде

где х, у — декартовы координаты точки; R — радиус круга.

Множество

— бесконечно.

Бесконечное множество называется счетным, если все его члены можно перечислить в определенной последовательности: , , ... Множество С точек внутри и на границе круга радиу­са R>0:

является бесконечным и несчетным (его элементы нельзя перену­меровать один за другим). Пустое множество:

Все пустые множества эквивалентны друг другу.

Следует отметить, что в теории вероятностей используется не­сколько иная символика для взаимоотношений множеств.

Объединение множеств С = А + В (ранее С = A U В). Аналогично

— бесконечное, не счетное число множеств.

Пересечение множеств D = АВ (ранее D = А ⋂ В). Множество

— счетное множество.

Как и при записи обычного умножения, знак умножения в про­изведении событий часто опускается: D = АВ.

Этих элементарных сведений по теории множеств достаточно для того, чтобы пользоваться теоретико-множественной схемой построения теории вероятностей.

Пример 1. Пусть А, В и С — области на плоскости хОу, опре­деляемые неравенствами:

— круг радиуса 2; — верхняя полуплоскость;

— круг радиуса 1 (рис. 2.8).

Легко проверить, что множества и совпадают и определяют область S (заштрихованная). всех пар (а, b), где а и b независимо друг от друга принимают все значения соответственно из множеств А и В. Эта область называется декартовым произведением множеств А и В и обозначается через АВ. Если А и В — конечные множества, содержащие соответственно т и п элементов, то множество АВ со­держит тп элементов.

Назовем область всех упорядочен­ных пар элементов из А де­картовым квадратом множества А и будем обозначать его А².

Рис. 2.8

Области А, В и С

С точки зрения теории мно­жеств натуральные кардиналь­ные числа отвечают классам равномощных конечных множеств, к ним, естественно, присоединяется

Рис. 2.9

Сложении непересекающихся областей

и нуль как кардинальное число, соответствующее пустому мно­жеству. Тогда элементарные отношения и действия над натураль­ными числами вводятся следующим образом.

1. Отношение «равно», «больше», «меньше»: т и п — два на­туральных числа; М и N — множества, т = п — множества, М и N равномощны

2. Сложение. Для определения суммы кардинальных чисел поступают так. Пусть m и n — два натуральных числа. Выбираем опять произвольно два непересекающихся множества М ⊂ т, где на рис. 2.9a пунктиром обозначены участки границы области S, не принадлежащей S, а на рис. 2.9б представлен результат сложения т. е.

Контрольные вопросы и задания

1. Какими основными элементами оперирует теория множеств?

2. Какие операции с множествами можно считать основными?

3. Какими свойствами обладают операции пересечения, соединения и дополнения?

4. Какое свойство при работе с множествами называется коммутатив­ным?

5. Какое свойство при работе с множествами называется ассоциативным?

6. Какое свойство при работе с множествами называется дистрибутивным?

7. С помощью каких графических методов можно осуществить провер­ку формул алгебры множеств?