Принципы решения типовых задач при расчете надежности систем логико - вероятностными методами

Трудность расчетов надежности сложных систем вызвана тем, что структура исследуемых объектов сложная. Поэтому прежде чем начать расчет надежности, необходимо рассмотреть, нельзя ли преобразовать сложную структуру в более простую, состоя­щую из последовательно или параллельно соединенных элемен­тов. Укажем некоторые важные положения структурного анали­за, входящие в теоретическую основу расчетов надежности слож­ных систем.

Задача 19. Преобразование структуры типа «треугольник» в структуру типа «звезда». В сложной структуре типа «мостик» (рис. 7.25а) выделим структуру «треугольник» (рис. 7.256).

Для того чтобы «звезда» (рис. 7.25в) была эквивалентна «тре­угольнику» , необходимо обеспечить эквивалентность их уравнений работоспособности, т. е. следующие равенства: a ˅ b = xy, b ˅ ac = хz, с ˅ ab = уz, где а, b, с, х, y, z — события, состоящие в том, что эле­менты находятся в работоспособном состоянии, т. е. вероятности работоспособного состояния цепей 1— 2, 1—3 и 2—3 должны быть равны как для «треугольника», так и для «звезды».

После арифметизации и замены событий их вероятностями получаем, что

Для случая, когда Р_а = Р_b = Р_c = Р_ТР и Р_x = Р_y = Р_z = Р₃, систе­ма уравнений значительно упрощается: тогда

Задача 20. Рассчитать вероятность работоспособного состоя­ния тракта передачи данных (рис. 7.26) при условии, что вероят­ности работоспособных состояний каналов a, b, d, e равны по 0,9,

а канала с — 0,8.

Решение.

Дадим словесную формули­ровку минимально необходимых условий работоспособности трак­та передачи данных: «тракт рабо­тоспособен, если работоспособны

каналы a и d, или каналы а, с и е, или каналы b и е, или каналы b, с и d, или каналы a, b, с, d и e. Логическую функцию работоспособности на основании словес­ной формулировки запишем следующим образом:

Разложим логическую функцию работоспособности с целью исключения повторяющихся членов (приведем к бесповторной форме):

Упростим выражение в первой скобке:

Окончательно функция работоспособности имеет следующий вид:

Заменим логические операции арифметическими:

Заменим события их вероятностями и определим количественное значение вероятности работоспособного состояния тракта, учитывая, что

Задача 21. Определить для иерархической структуры переда­чи данных (рис. 7.27) вероятность передачи информации от верх­него звена до четырех нижних и для полного отказа в передаче информации при условии, что вероятность передачи информации между соседними звеньями равна 0,9.

Решение.

1. Сначала определим вероятность того, что информация дой­дет до четырех нижних звеньев. Логическая функция работоспо­собности:

Арифметизируем :

F_a = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6.

Заменим события их вероятностями:

2. Определим вероятность того, что информация не дойдет ни до одного нижнего звена из четырех. Логическая функция работо­способности:

Арифметизируем F_Л:

После замены событий их вероятностями получаем Р = 0,012.