Закон распределения вероятности отказа контактора

Графически закон распреде­ления примет вид многоугольни­ка (рис. 4.4).

Пример 2. Проводится испы­тание контактора постоянного тока на 150 А типа КМ2000. Ком­мутационная износостойкость главных контактов контактора должна быть не менее 100 000 операций вероятности отказа. Вероятность отказа через каж­дые 20 000 операций равна

	1	2	3	4
	0,2	0,4	0,6	0,8

Рис. 4.5

Линейный закон распределения вероятности отказа контактора

Здесь х₁ = 1 — после 20 000; х₂ = 2 — после 40 000; — пози­ция после каждой 20 000 и т. д.

Закон распределения имеет вид (рис. 4.5).

После 100 000 операций вероятности отказа считается, что про­исходит полный износ главных контактов, и контактор отключа­ется.

Математическое ожидание случайной величины ξ (обознача­ется Мξ) есть предел

(4.17)

где — последовательность дискретных случайных величин, оп­ределяемых равенством ξ = k/n если Очевидно, что

Математическое ожидание удовлетворяет следующим свой­ствам:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Для вычисления математического ожидания используются следующие формулы

(4.18)

при условии, что интеграл справа существует.

Моменты случайных величин служат для описания свойств плотности распределения случайной величины ξ. Они содержат меньше информации о случайной величине по сравнению с плот­ностью распределения, но часто более удобны при решении при­кладных задач. Величина

(4.19)

называется k-м моментом величины ξ (если указанное математи­ческое ожидание существует).

Часто величина называется начальным моментом k-го порядка случайной величины ξ. При k = 1 начальный момент первого порядка является математическим ожиданием непре­рывной случайной величины ξ,

(4.20)

Математическое ожидание может быть оценено как стати­стическое среднее по ,

i = реализациям:

(4.21)

причем ; k-й момент центрированной случай­ной величины ξ называется k-м центральным моментом

(4.22)

Особую роль играет второй центральный момент , кото­рый называется дисперсией случайной величины ξ:

Для не прерывных случайных величин

(4.23)

Статистически дисперсия по реализациям рассчитывается по формуле

(4.24)

причем

ДисперсР1я характеризует рассеивание значений случайной ве­личины ξ, в окрестности ее математического ожидания. Наряду с дисперсией , в качестве меры рассеивания широко используется среднее квадратическое отклонение случайной величины ξ (СКО)

Отметим два обстоятельства:

1. всегда определена, если определено M ξ;

2. если , т. е. в этом случае величина ξ, с вероятностью 1 постоянна.

В дальнейшем для сокращения записи будем обозначать на­чальные и центральные моменты случайной величины ξ, соответ­ственно и . Начальный и центральный моменты нулевого по­рядка .

Центральный момент третьего порядка

(4.25)

характеризует асимметрию кривой плотности распределения . Если — симметричная непрерывная функция с осью симмет­рии, проходящей через , то . В этом случае также равны нулю и все другие нечетные центральные моменты случайной ве­личины ξ.

Центральный момент четвертого порядка

(4.26)

характеризует эксцесс кривой плотности распределения .

Если случайная величина ξ, непрерывна, то значения х, где плотность достигает максимального значения, называются модами. Если мода единственна, то распределение случайной ве­личины называют унимодальным, в противоположном случае — мультимодальным. Если ξ,— дискретная случайная величина и то ее модами называют те значения для которых

(4.27)

Медианой случайной величины ξ называется значение х', для которого

(4.28)

Для случайных величин с непрерывным распределением ме­диана определяется как значение х', для которого

(4.29)

Квантиль порядка есть значение х_а, для которого

(4.30)

Если ξ, — случайная величина с непрерывным распределени­ем, то квантиль х_а порядка а определяется равенством . Медиана является квантилью порядка 0,5.

Условной вероятностью события А относительно события В, для которого Р(В) > 0, называется величина

(4.31)

Формула умножения вероятностей:

(4.32)

Общая формула умножения вероятностей:

(4.33)

Формула полной вероятности. Пусть Е₁, Е₂, ..., Е_п — полная группа событий (предполагаем, что ). Тогда для всякого события А

Формула Байеса дает выражение для условных вероятностей одного из событий Е_к полной группы Е₁, Е₂, ..., Е_п при условии, что произошло событие А:

(4.34)

Предположим, что событие А может происходить при гипоте­зе , заключающейся в том, что произошло событие Е_к с вероят­ностью Р(А/Е_к), а Р(Е_к) — вероятность гипотезы .

Формула Байеса позволяет вычислить условную вероятность гипотезы Н_к при условии, что произошло событие А, через веро­ятности гипотез и вероятности события А при различных гипоте­зах. Выражение

(4.35)

называется условной функцией распределения величины ξ отно­сительно события А. Она определена, если Р(А) > 0.

Если непрерывна и

то называется условной плотностью распределения вели­чины ξ относительно события А. Условная функция распределе­ния и условная плотность распределения обладают свойствами функции распределения и плотности распределения соответствен­но. Моменты, вычисленные по условной функции распределения, называются условными моментами случайной величины с,. В ча­стности, выражение

(4.36)

если интеграл справа абсолютно сходится, называется условным математическим ожиданием величины £, относительно события А.

Формула полного математического ожидания имеет вид

(4.37)

где Е₁, Е₂, ..., Е_п — полная группа событий; .

С помощью условных функций и плотности распределения можно установить стохастическую зависимость между составляю­щими случайного вектора .

Если вектор ., состоит из т независимых составляющих произведению плотностей распределения его составляющих:

(4.38)

Используя формулы (4.32) и (4.38), нетрудно показать, что из независимости случайных величин следует их некоррелирован­ность. Обратное утверждение в общем случае неверно. Иначе гово­ря, условие независимости случайных величин более сильное, чем условие некоррелированности.

Производящие функции. Пусть v — целочисленная неотрица­тельная случайная величина с распределением вероятностей

(4.39)

Производящей функцией распределения (4.39) случайной ве­личины v называется ряд

(4.40)

Для группы п целочисленных неотрицательных величин совместная производящая функция определяется рядом

где

Распределение вероятностей (4.39) однозначно определяется своей производящей функцией

Математическое ожидание Mv выражается формулой

Факториальные моменты случайной величины вычисляются по формуле

В частности, математическое ожидание M v и дисперсия D v определяются формулами

Преобразованием Лапласа p(s) неотрицательной случайной величины ξ с функцией распределения вероятностей называется функция

(4.41)

Если распределение Р(х) имеет плотность и(х) = Р'(х), то пре­образование Лапласа:

(4.42)

Преобразование Лапласа можно представить в виде ряда

(4.43)

в любом интервале , в котором ряд сходится.

Преобразование Лапласа при вещественных λ > 0 имеет вероятностный смысл

(4.44)

где τ — случайная величина, не зависящая от ξ и имеющая пока­зательное распределение с параметром λ:

(4.45)

при этом

Выражение (4.44) интерпретируется следующим образом:

При λ > 0 есть вероятность того, что интересующий нас момент (отказа, восстановления и т. д.) ξ, происходит до момента останов­ки наблюдений τ, имеющего показательное распределение.

Преобразование Лапласа суммы двух независимых случайных величин равно произведению преобразований Лапла­са слагаемых

что равносильно равенству

Преобразование Лапласа суммы

независимых между собой и от v одинаково распределенных слу­чайных величин с преобразованием Лапласа определяется суперпозицией функций ϕ(z) и :

(4.46)

где v — целочисленная неотрицательная случайная величина с производящей функцией

Понятие преобразования Лапласа естественным образом рас­пространяется на многомерные распределения.

4.4.