5.4 Виды марковских процессов

При изучении сложных технологических систем, в том числе и ЭА, используют математические модели, основанные на марков­ских процессах. Основные понятия марковского процесса — со­стояние и переход системы из одного состояния в другое. Слож­ные системы в любой момент времени находятся в одном из воз­можных состояний. Состояние системы часто описывается числом работоспособных элементов. Если рассматривать переходы систе­мы из одного состояния в другое и точно пронумеровать их во вре­мени, поведение системы можно представить как процесс с дис­кретным временем.

Пусть система находится в одном из возможных состояний, где номер состояния системы Переход из одно­го состояния в другое называется шагом процесса. Для описания поведения системы достаточно внести набор условных вероятно­стей того, что осуществится переход из в и задать исходное состояние, в котором находилась система в начальный момент вре­мени. Обозначим через вероятность того, что система, находясь в момент s в состоянии z, в момент t окажется в одном из состоянии множества Г. Если дополнительные знания о системе в моменты не изменяют этой вероятности при любых s, z, t, Г, то мы имеем дело с марковским процессом.

Обоснование применения марковской модели:

• если каждый из элементов системы имеет приблизительно экс­поненциальное распределение времени безотказной работы;

• знание какой-либо предыстории системы не представляет боль­шой ценности для предсказания ее поведения в будущем.

Различают следующие основные виды марковских процессов: марковская цепь, марковская последовательность, разрывной мар­ковский процесс, непрерывный марковский процесс, дискретный марковский процесс.

Марковская цепь (дискретный марковский процесс с дискрет­ным временем): в этом случае время t принимает конечное или счетное множество значений и случайная величи­на может принимать на этом множестве дискретные значения Множества значений { } и { } могут быть конечными или бесконечными.

Марковская последовательность (непрерывный марковский процесс с дискретным временем) отличается от процесса первого вида тем, что случайная величина может прини­мать непрерывное множество значений.

Разрывной марковский процесс (дискретный марковский про­цесс с непрерывным временем): здесь Г(t) принимает дискретные значения а время t изменяется непрерывно в интер­вале [0, Т], где Т — длина временного интервала, на котором задан процесс Г(t). Множество может быть конечным или счетным.

Непрерывный марковский процесс (непрерывный марковский процесс с непрерывным временем): здесь Г(t) принимает значе­ния из некоторого непрерывного множества, параметр t также из­меняется непрерывно.

Дискретный марковский процесс (дискретно-непрерывный марковский процесс). В данном случае при непрерывном измене­нии времени t случайный марковский процесс Г(t) в некоторые моменты времени имеет скачки, а на интервалах времени между скачками ведет себя как непрерывный марковский процесс.

Помимо перечисленных, воз­можны более сложные смешанные случайные марковские процессы.

При анализе надежности объ­ектов их функционирование обыч­но рассматривается как случайный процесс перехода объекта из одно­го состояния в другое, обусловлен­ный отказами и восстановлениями составляющих систему элементов. Этот процесс при определенных ус­ловиях может быть достаточно строго описан дискретным марков­ским

Рис. 5.1

Реализация дискретного марковского процесса

процессом. Поэтому при ана­лизе надежности объектов наиболь­шее распространение получили дис­кретные марковские процессы с непрерывным временем и конеч­ным числом состояний.

Отдельную реализацию дискретного марковского процесса мож­но представить графически в виде ступенчатой функции (рис. 5.1).

Рис. 5.2

График переходов

Процесс Г(t) может принимать только дискретные значения Смена этих значений - состояний процесса — проис­ходит в некоторые случайные моменты времени

Среди марковских процессов можно выделить так называемые процессы гибели и размножения, т. е. процессы отказа и безотказ­ности.

Рассмотрим функционирование восстанавливаемой системы при следующих предположениях:

1. поток отказов системы носит пуассоновский характер, и ин­тенсивность отказов равна X;

2. время восстановления системы является величиной случай­ной, распределенной по экспоненциальному закону где и — интенсивность восстановления;

3. система может находиться в двух состояниях: состоянии (работоспособности) и состоянии (ремонта).

Поведение системы с точки зрения работоспособности опишем графом переходов (рис. 5.2).

На рис. 5.2 кружки с номером означают состояние системы, а стрелки (дуги) — направление переходов системы и вероятности этих переходов за бесконечно малый интервал времени.

Вероятности переходов в силу сделанных предположений и свойства показательного закона надежности не зависят от време­ни. Введем вероятности нахождения системы в состояниях 1 и 2 как Очевидно, что для любого момен­та времени. Рассмотрим поведение системы в интервале времени [0, t + ∆t]. Тогда система в момент t + ∆t будет находиться в состоя­нии 1, если она в момент времени t находилась в этом состоянии и за время ∆t не наблюдалось отказов, а также если система в мо­мент времени t находилась в состоянии 2 и за время ∆t был закон­чен ее ремонт. Тогда по формуле полной вероятности

Так как

то

Аналогичные рассуждения приводят к уравнению

Предельный переход при дают дифференциальные урав­нения, описывающие поведение системы во времени:

(5.21)

Уравнения вида (5.21) получили название дифференциальных уравнений Колмогорова — Чепмена. Решая их, можно получить

что позволяет оценить вероятности состояния системы в зависи­мости от начального состояния:

(5.22)

При

(5.23)

Для сложной системы, состоящей из разнородных элементов, имеющих различные λ(t) и μ(t), операции составления полного набора радиусов-векторов вершин графа состояний и построение его прямых и обратных ребер могут быть формализованы и произ­водиться на компьютере.