Оценка вероятности отказа по частоте

Для получения характеристик надежности нужно знать веро­ятность отказа за промежуток времени (t, t + ∆t). Обозначим эту вероятность Q(t, t + ∆t) или Q(t, ∆t). Простейшая задача, с кото­рой сталкиваются на практике, состоит в оценке неизвестной ве­роятности отказа Q(t, ∆t) по наблюдаемой частоте его появления:

(4.66)

где — число отказов в интервале времени m(t) — общее число изделий, за которыми установлено наблюдение в мо­мент времени t.

В качестве точной оценки неизвестной вероятности Q(t, ∆t) во всех случаях разумно принимать частоту Однако эта оценка в ряде случаев оказывается недостаточной для характе­ристики надежности объектов. Действительно, довольно часто за промежуток времени ∆t отказов вообще можно не наблюдать, т. е. , а это приводит к тому, что вероятность отказа за время ∆t в соответствии с формулой (4.66) следует считать равной нулю. При этом никак не учитывается общее число объектов m(t), за которыми установлено наблюдение. Если не мало, величина оценки на разных объектах резко меняется и не может служить устойчивой характеристикой надежности элементов. Это приводит к выводу о целесообразности использования для оценки вероятности отказа за время ∆t метода доверительных интервалов.

Пусть частота отказов за промежуток времени равна Оценим возможную ошибку и укажем границы для неиз­вестной вероятности отказов Q(t, ∆t).

Абсолютно достоверными границами для Q(t, ∆t) являются числа 0 и 1. Указание всяких других границ сопряжено с риском совершить ошибку, вероятность которой назовем уровнем значи­мости. Вероятность противоположного события, а именно вероят­ность не совершить ошибку, обычно называют доверительной ве­роятностью или коэффициентом доверия.

Выбор величины доверительной вероятности в значительной степени зависит от той цели, которая ставится. Желание застрахо­вать себя от возможной ошибки приводит к выбору весьма солид­ных доверительных вероятностей (порядка 0,99 и более). Следует иметь в виду, что всякая перестраховка в статистических исследо­ваниях имеет свои отрицательные стороны: чем больше доверитель­ная вероятность, тем шире границы для неизвестной вероятности. Опыт показывает, что выбор доверительных вероятностей 0,95 и даже 0,90 вполне достаточен для практических целей.

Двусторонним доверительным интервалом для вероятности Q(t, ∆t) с коэффициентом доверия, не меньшим, чем δ, называется случайный интервал концы которого (до­верительные границы) зависят только от исхо­дов наблюдения и для любого Q(t, ∆t):

(4.67)

Верхним и нижним односторонними интервалами называются такие случайные интервалы , для ко­торых соответственно

(4.68)

(4.69)

Если имеется несколько последовательностей наблюдения, то, вычислив для каждого из них значения , можно утверждать, что в 100δ случаях из 100 соотношения (4.58)...(4.69) будут справедливыми. Величину δ нужно толковать не как вероят­ность попадания точки в интервал (рис. 4.9), а как веро­ятность того, что случайный интервал накроет точку

Описанное толкование доверительного интервала одинаково справедливо как для двустороннего, так и для одностороннего (верхнего или нижнего) доверительного интервала. Поэтому ве­роятность того, что случайный интервал накроет точку , в формулах (4.67)...(4.69) обозначена одной и той же буквой δ.

Рис. 4.9

Графическая иллюстрация двустороннего доверительного интервала для вероятности отказа

Однако при пользовании статистическими таблицами часто при­ходится сталкиваться с различным обозначением доверительных интервалов, что связано с использованием одних и тех же таблиц для разных по величине коэффициентов доверия. Для исключе­ния возможных ошибок будем обозначать доверительную вероят­ность одностороннего интервала:

(4.70)

а уровень его значимости

(4.71)

Вероятность характеризует вероятность выхода Q(t, ∆t) из доверительного интервала только за одну границу. При двусто­роннем интервале всегда существует вероятность ошибки в обе сто­роны: доверительный интервал может оказаться целиком либо левее, либо правее искомой вероятности Q(t, ∆t). Приняв для ве­роятности односторонней ошибки обозначение и считая одина­ковым риск ошибаться в обе стороны, для характеристики уровня значимости двустороннего интервала получим

(4.72)

Тогда доверительная вероятность двустороннего интервала δ₂ оказывается связанной с величинами δ₁ и γ₁ соотношениями

(4.73)

(4.74)

(4.75)

Перейдем к вопросу о нахождении доверительных границ , .

При малом числе элементов m(t), установленных на объекте и находящихся под наблюдением в момент времени t, а также при малом числе отказов n(t, ∆t), которые удается наблюдать за время , частота отказов имеет биномиальное распределение:

(4.76)

где число сочетаний из m элементов по k; условная функция распределения случайной величины (или N) при условии, что истинная вероятность отказа равна Q, а общее число наблюдаемых элементов равно т. (Здесь и ниже для сокращения записи опущены временные аргументы.)

Исходя из биномиального распределения английские статисти­ки С. Клоппер и Э.Пирсон указали правило, которое дает гаран­тию того, что вероятность непокрытия доверительным интерва­лом неизвестной вероятности Q не превосходит . Это правило можно перефразировать иначе. Пусть при работе т независимых изделий, имеющих постоянную вероятность отказа Q, за время ∆t наблюдалось п отказов. Тогда в качестве верхней границы дове­рительного интервала следует взять единственное решение урав­нения

(4.77)

а в качестве нижней доверительной границы — единственное ре­шение уравнения

(4.78)

Точное решение уравнений (4.77) и (4.78) описано в [14]. При­ближенные оценки могут быть сделаны по формулам [15]:

(4.79)

(4.80)

в которых

(4.81)

Так называемая Q-процентная точка k²-распределения с r сте­пенями или при заданном числе степе­ней свободы r и уровне вероятности определяется по табл. 4.2.

Пример 4. Имеются статистические данные о повреждаемости изоляции обмоток электрических аппаратов (ЭА). Определим до­верительные границы вероятности отказа ЭА по данной причине в интервале времени (0; 10 000). Известно, что за первые 10 000 ч наблюдения из 684 ЭА отказало 15. Требуется определить с коэф­фициентом доверия δ₂ = 0,95 вероятности отказа Q_B (0; 10 000) и Q_H (0; 10 000).

Точечная оценка вероятности отказа:

Из соотношений (4.20) и (4.21) определим

Согласно формулам (4.25) и (4.26) искомые доверительные границы:

Итак, мы получили следующий результат: истинная вероят­ность отказа ЭА по причине пробоя изоляции их обмоток в проме­жутке времени (0; 10 000) с коэффициентом доверия 0,95 накры­вается интервалом т. е.

На практике иногда приходится встречаться с задачей опреде­ления доверительного интервала для вероятности отказа, когда полученная из опыта частота отказа равна нулю. Если число отка­зов то формула (4.77) превращается в выражение

(4.82)

Разрешая уравнение (4.82) относительно Q_B, получим

(4.83)

Пример 5. За время на объекте не отказал ни один из 10 ЭА. Необходимо определить надежность ЭА.

Зададимся коэффициентом доверия определим по (4.83)

Таким образом, если за все время испытаний не возникло ни одного отказа, то с гарантией в 90% можно утверждать, что веро­ятность отказа данных ЭА не превышает 0,206 (при m = 10).

4.7.