1). Кинематика точки. Векторы перемещения, скорости и ускорения точки. Соприкасающаяся плоскость.

2). Работа сил тяжести, действующих на систему и работа сил, приложенных к вращающемуся телу.

1) Кинематика Способы задания движения точки

При векторном способе задания движения положение точки определяется радиус-вектором, проведенным из неподвижной точки в выбранной системе отсчета. 

При координатном способе задания движения задаются координаты точки как функции времени:

Это параметрические уравнения траектории движущейся точки, в которых роль параметра играет время t. Чтобы записать ее уравнение в явной форме, надо исключить из них  t.

При естественном способе задания движения задаются траектория точки, начало отсчета на траектории с указанием положительного направления отсчета, закон изменения дуговой координаты: s=s(t) . Этим способом удобно пользоваться, если траектория точки заранее известна.

 Вектор перемещения - это направленный отрезок, проведенный из начального положения материальной точки в ее конечное положение. Перемещением характеризуется Вектором перемещения материальной

точки за время от  , т.е. приращение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени

При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории. Из того, что перемещение является вектором, следует подтверждающийся на опыте закон независимости движений: если материальная точка участвует в нескольких движениях, то результирующее перемещение точки равно векторной сумме ее перемещений, совершаемых ею за тоже время в каждом из движений порознь.

изменение радиус-вектора точки.

 Вектор перемещения - это направленный отрезок, проведенный из начального положения материальной точки в ее конечное положение. Перемещением характеризуется Вектором перемещения материальной

Ускорение точки

Среднее ускорение  

характеризует изменение вектора скорости за малый промежуток времени  Δt . Ускорение точки в данный момент времени

Ускорение точки – это мера изменения ее скорости, равная производной по времени от скорости этой точки или второй производной от радиус-вектора точки по времени. Ускорение характеризует изменение вектора скорости по величине и направлению и направлено в сторону вогнутости траектории.

Скорость точки

Рассмотрим перемещение точки за малый промежуток времени  Δt: тогда  средняя скорость точки за промежуток времени Dt . Скорость точки в данный момент времени

Скорость точки – это кинематическая мера ее движения, равная производной по времени от радиус-вектора этой точки в рассматриваемой системе отсчета. Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

Соприкасающаяся плоскость в точке М кривой l, плоскость, имеющая с l в точке М касание порядка n ³ 2 С. п. может быть также определена как предел переменной плоскости, проходящей через три точки кривой /, когда эти точки стремятся к точке М. С механической точки зрения С. п. может быть охарактеризована как плоскость ускорений: при произвольном движении материальной точки по кривой l вектор ускорения лежит в С. п. Обычно кривая, кроме исключит, случаев, пронизывает свою С. п. в точке соприкосновения . Если кривая l задана уравнениями х = х (u), у = у (u), z = z (u), то уравнение С. п. имеет вид:

   ,

  где X, Y, Z — текущие координаты, а х, у, z, х', у', z', х’’, у’’, z’’ вычисляются в точке соприкосновения; если все три коэффициента при X, У, Z в уравнении С. п. исчезают, то С. п. делается неопределённой (может совпадать с любой плоскостью, проходящей через касательную).

 2) Работа сил тяжести, действующих на систему. Работа силы тяжести, действующей на частицу весом  , будет равна  , где   и  - координаты, определяющие начальное и конечное положение частицы. Тогда сумма работ всех сил тяжести, действующих на систему, будет равна

где Р - вес системы,  - вертикальное перемещение центра тяжести (или центра масс). Следовательно, работа сил тяжести, действующих на систему, вычисляется как работа их равнодействующей Р на перемещении центра тяжести (или центра масс) системы.

2) Работа сил, приложенных к вращающемуся телу. Элементарная работа приложенной к телу силы F (рис.4) будет равна ,так как   где  - угол поворота тела.

Но, как легко видеть,  . Будем называть величину   вращающим моментом. Тогда получим:  .

Следовательно, в рассматриваемом случае элементарная работа равна произведению вращающего момента на элементарный угол поворота. Формула справедлива и при действии нескольких сил, если считать  .

Рис.4

 

При повороте на конечный угол   работа будет равна а в случае постоянного момента (M_z=const)

Рисунок 27

Если на тело действует пара сил, лежащая в плоскости, перпендикулярной к оси Оz, то Мz будет, очевидно, означать момент этой пары.

Работа, затрачиваемая на изменение скорости вращения, равна изменению кинетической энергии тела:

Укажем еще, как в данном случае определяется мощность

Следовательно, при действии сил на вращающееся тело мощность равна произведению вращающего момента на угловую скорость тела. При той же самой мощности вращающий момент будет тем больше, чем меньше угловая скорость.

Если тело катится по горизонтальной поверхности, его кинетическая энергия будет складываться из энергии поступательного движения и энергии вращения (рис.5):

 

Билет №14.