1). Пространственная система сил. Момент силы относительно оси (последовательность вычисления момента при решении задач).

2). Теорема об изменении кинетической энергии точки (пример о движении груза со скоростью V под действием тормозящей силы f до остановки).

1).Момент силы относительно оси

Рассмотрим тело, к которому в точке А приложена сила  . Проведём через точку А плоскость xy. Разложим силу   на составляющие: одну параллельно оси z и другую, лежащую в плоскости xy -  . Проведём ось z. Точку пересечения оси z с плоскостью xy обозначим буквой О. Сила  , параллельная оси z, не обладает вращательным эффектом; она только может переместить тело вдоль оси z (рис. 5.1). Вращательный эффект силы   может создавать составляющая  , следовательно, момент силы относительно оси равен моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, взятому относительно точки пересечения оси с плоскостью (рис. 5.1).

Рис. 5.1

             Момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси или когда сила пересекает ось, относительно которой определяется момент силы. Обобщая эти условия, можно заключить, что момент силы относительно оси равен нулю, когда сила и ось находятся в одной плоскости. Для вычисления момент силы относительно оси z необходимо:  1) провести плоскость xy, перпендикулярную этой оси;  2) спроецировать на эту плоскость силу   и найти величину проекции  ;  3) опустить из точки О перпендикуляр на линию действия силы   и найти длину перпендикуляра h;  4) вычислить величину момента силы  ;  5) определить знак момента силы. Таким образом, модуль момента силы   относительно оси z (рис. 5.1) равен:  . Момент силы   относительно оси z будет иметь знак «плюс», когда с положительного конца оси поворот, который стремится совершить сила   , будет виден происходящим против хода часовой стрелки, и знак «минус», когда по ходу часовой стрелки.

Кинетической энергией материальной точки называется скалярная величина равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости.

Единица измерения кинетической энергии та же, что и работы (в СИ — 1 Дж). Найдем зависимость, которой связаны эти две величины.

Рассмотрим материальную точку с массой m , перемещающуюся из положенияM0 , где она имеет скорость V0 в положениеM1 , где ее скорость V1.

Для получения искомой зависимости обратимся к выражающему основной закон динамики уравнению ma=F_k Проектируя обе его части на касательную M_t к траектории точки М, направленную в сторону движения, получим

ma=F_kt

Входящее сюда касательное ускорение точки представим в виде

a_t=dv/dt=(dv/ds)*(ds/dt)=v*(dv/ds)

В результате найдем, что

mv*(dv/ds)=F_kt

Умножим обе части этого равенства на ds и внесем m под знак дифференциала. Тогда, замечая, что F_ktds=dA_k где dA_k — элементарная работа силы F_k, получим выражение теоремы об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной форме:

d(mv²/2)= dA_k

Проинтегрировав теперь обе части этого равенства в пределах, соответствующих значениям переменных в точках найдем окончательно

(mv₁²/2)-( mv₀²/2)=A_{(M0, M1)}

Уравнение (mv₁²/2)-( mv₀²/2)=A_{(M0, M1)}

выражает теорему об изменении кинетической энергии точки в конечном виде: изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.

Билет №30.

1). Теорема Вариньона для моментов сил относительно оси. Аналитические формулы для моментов силы относительно координатных осей.

2). Динамика системы и твердого тела. Масса системы. Центр масс.

1). Теорема Вариньона для моментов сил относительно оси. Аналитические формулы для моментов силы относительно координатных осей.

Теорема Вариньона

Момент равнодействующей сходящихся сил относительно некоторого центра равен сумме моментов всех заданных сил (составляющих) относительно того же центра.

Т еорема справедлива как для векторных, так и для алгебраических моментов.

2). Динамика системы и твердого тела. Масса системы. Центр масс.

Механической системой материальных точек или тел называется такая их совокупность, в которой положение или движение каждой точки (или тела) зависит от положения и движения всех остальных.

Материальное абсолютно твердое тело мы также будем рассматривать как систему материальных точек, образующих это тело и связанных между собой так, что расстояния между ними не изменяются, все время остаются постоянными.

Классическим примером механической системы является солнечная система

Совокупность тел, между которыми нет никаких сил взаимодействия (например, группа летящих в воздухе самолетов), механическую систему не образует.

Реакции связей или просто – реакции, это силы которые ограничивают движение точек системы (их координаты, скорость и др.)

Геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил системы равняется нулю.

Масса системы. Центр масс.

Движение системы, кроме действующих сил, зависит также от её суммарной массы и распределения масс. Масса системы равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему

Средней плотностью тела называют отношение

Плотностью тела в данной точке называют предел

Отсюда,

Если плотность во всех точках тела одинакова, то такое тело называют однородным.

В однородном поле тяжести, для которого g=const, вес любой частицы тела будет пропорционален ее массе. Поэтому о распределении масс в теле можно судить по положению его центра тяжести. Преобразуем формулы, определяющие координаты центра тяжести:

В полученные равенства входят только массы   материальных точек (частиц), образующих тело, и координаты   этих точек. Следовательно, положение точки С (x_C, y_C, z_C) действительно характеризует распределение масс в теле или в любой механической системе, если под   понимать соответственно массы и координаты точек этой системы.

Геометрическая точка С, координаты которой определяются указанными формулами, называется центром масс или центром инерции системы.

Положение центра масс определяется его радиус-вектором 

где   - радиус-векторы точек, образующих систему.

Хотя положение центра масс совпадает с положением центра тяжести тела, находящегося в однородном поле тяжести, понятия эти не являются тождественными. Понятие о центре тяжести, как о точке, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести, по существу имеет смысл только для твердого тела, находящегося в однородном поле тяжести. Понятие же о центре масс, как о характеристике распределения масс в системе, имеет смысл для любой системы материальных точек или тел, причем, это понятие сохраняет свой смысл независимо от того, находится ли данная система под действием каких-нибудь сил или нет.

Билет №31.

1). Главный вектор R и главный момент M пространственной системы сил. Проекции R и M на координатные оси.

2). Момент инерции тела относительно оси. Радиус инерции. Теорема Гюйгенса.

2.

Билет №32.

1). Равновесие произвольной пространственной системы сил. Случай параллельных сил. Центр параллельных сил.

2). Дифференциальные уравнения движения системы. Теорема о движении центра масс системы.

1.

\