1). Система сходящихся сил. Аналитический способ сложения сил. О проекциях сил на оси прямоугольной системы координат.

2). Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей. Частные случаи.

1) Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называется системой сходящихся сил. Точка пересечения линий действия сил называется точкой сходимости. Равнодействующая R приложена в точке сходимости О и является замыкающим вектором при построении силового многоугольника.

АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ И СЛОЖЕНИЯ СИЛ Аналитический метод решения задач статики основывается на понятии о проекции силы на ось. Проекция силы (как и любого другого вектора) на ось есть алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси.

Аналитический метод задания силы заключается в том, что, выбрав совершенно произвольно некоторую прямоугольную систему координатных осей Oxyz, задают: 1) проекции силы F на координатные оси Fx,Fy,Fz и 2) координаты точки А приложения силы.

Для получения проекций силы поместим в точку А приложения силы начала трех осей Аx',Аy',Аz', параллельных заданным осям Оx,Оy,Оz. Тогда, проводя через конец В вектора три плоскости, параллельные координатным плоскостям, отсечем этими плоскостями на осях проекции Fx,Fy,Fz.

2) Мгновенным центром скорости называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Легко убедиться, что если фигура движется непоступательно, то такая точка в каждый момент времени t существует и притом единственная. Пусть момент времени t точка А и В плоской фигуры имеют скорость и , не параллельны друг другу. Тогда тогда Р, лежащая на пересечении перпендикуляров Аа к вектору Va и Bb к вектору Vв, и будет мгновенным центром скоростей, так как =0*. В самом деле, если допустить, что , то по теореме о проекциях скоростей вектор должен быть одновременно перпендикулярен и АР,(так как и ВР,(так как , что невозможно. Из той же теоремы видно, что никакая другая точка фигуры в этот момент времени не может иметь скорость, равную нулю( например, для точки а проекции на линию Ва не равна нулю и, следовательно, и т.д.). Если теперь в момент времени t взять точку Р за полюс, то по формуле скорость точки А будет так как . Аналогичный результат получится для любой другой точки фигуры. Следовательно, скорости точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного центра скоростей.

Билет №9.

1). Пара сил. Момент пары сил: модуль и направление. Момент пары как вектор свободный (показать),

2). Векторы скорости и ускорения (линейных) точек вращающегося тела. Формула Эйлера.

Билет №9

1 ) Парой сил (или просто парой) называются две силы, равные по ве­личине, параллельные и направленные в противоположные стороны (рис.13). Очевидно, .

Несмотря на то, что сумма сил равна нулю, эти силы не уравновешиваются. Под действием этих сил, пары сил, тело начнёт вращаться. И вращательный эффект будет определяться моментом пары:

Расстояние a между линиями действия сил называется плечом пары.

Если пара вращает тело против часовой стрелки, момент её считается положительным (как на рис.13), если по часовой стрелке – отрицательным.

Для того, чтобы момент пары указывал и плоскость, в которой происходит вращение, его представляют вектором.

Вектор момента пары   направляется перпендикулярно плоскости, в которой расположена пара, в такую сторону, что если посмотреть оттуда, увидим вращение тела против часовой стрелки (рис. 14).

Нетрудно доказать, что вектор момента пары   – есть вектор этого векторного произведения (рис. 14). И заметим, что он равен вектору момента силы   относительно точки А, точки приложения второй силы:

Рис.13 О точке приложения вектора   будет сказано ниже. Пока приложим его к точке А.

Рис.14

Свойства пар

1) Проекция пары на любую ось равна нулю. Это следует из определения пары сил.

2 ) Найдём сумму моментов сил оставляющих пару, относительно какой-либо точки О (рис.15).

Покажем радиусы-векторы точек А₁ и А₂ и вектор  , соединяющий эти точки. Тогда момент

пары сил относительно точки О

.

Но  .

Поэтому  .

Но  . Рис 15.

Значит  .

Момент пары сил относительно любой точки равен моменту этой пары.

Отсюда следует, что, во-первых, где бы не находилась точка О и, во-вторых, где бы не располагалась эта пара в теле и как бы она не была повёрнута в своей плоскости, действие её на тело будет одинаково. Так как момент сил, составляющих пару, в этих случаях один и тот же, равный моменту этой пары  .

Поэтому можно сформулировать ещё два свойства.

3) Пару можно перемещать в пределах тела по плоскости действия и переносить в любую другую параллельную плоскость.

4) Так как действие на тело сил, составляющих пару, определяется лишь её моментом, произведением одной из сил на плечо, то у пары можно изменять силы и плечо, но так, чтобы момент пары остался прежним. Например, при силах F₁=F₂=5 H и плече а = 4 см момент пары m = 20 H∙см. Можно силы сделать равными 2 Н, а плечо а = 10 см. При этом момент останется прежним 20 Нсм и действие пары на тело не изменится.

Все эти свойства можно объединить и, как следствие, сделать вывод, что пары с одинаковым вектором момента    и неважно где расположенные на теле, оказывают на него равное действие. То есть такие пары эквивалентны.

Исходя из этого, на расчётных схемах пару изображают в виде дуги со стрелкой, указывающей направление вращения, и рядом пишут величину момента m (рис.15.1). Или, если это пространственная конструкция, показывают только вектор момента этой пары. И вектор момента пары можно прикладывать к любой точке тела. Значит вектор момента пары   – свободный вектор. Такое упрощенное изображение оправдано тем, что пара сил характеризуется моментом, а не ее положением в плоскости. Но если необходимо определять не внешние силы, а внутренние в разных сечениях элемента, как это делается в сопротивлении материалов, то важен знак и место приложения пары сил

Рис.15.1. Эквивалентные пары сил

И ещё одно дополнительное замечание. Так как момент пары равен вектору момента одной из сил её относительно точки приложения второй силы, то момент пары сил относительно какой-либо оси z – есть проекция вектора момента пары   на эту ось:

,    где   – угол между вектором   и осью z.

2) Скорости и ускорения точек вращающегося тела.

Установив характеристики движения всего тела в целом, перейдем к изучению движения отдельных его точек.

1. Скорости точек тела. Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения (см. рис.9). При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр С лежит на самой оси. Если за время dt происходит элементарный поворот тела на угол dφ, то точка М при этом совершает вдоль своей траектории элементарное перемещение ds=hdφ. Тогда числовое значение скорости точки будет равно отношению ds к dt, т.е

Скорость    в отличие от угловой скорости тела называют иногда еще линейной или окружной скоростью точки М.

Т аким образом, числовое значение скорости точки вращающегося твердого тела равно произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения.

Направлена скорость по касательной к описываемой точкой окружности или перпендикулярно плоскости, проходящей через ось вращения и точку М.

Так как для всех точек тела   имеет в данный момент времени одно и то же значение, то скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения.

Рис.9

2. Ускорения точек тела. Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами

В нашем случае ρ=h. Подставляя значение v в выражения a_τ и a_n, получим:

или окончательно: Рис.13

Касательная составляющая ускорения a_τ направлена по касательной к траектории (в сторону движения при ускоренном вращении тела и в обратную сторону при, замедленном); нормальная составляющая a_n всегда направлена по радиусу МС  к оси вращения (рис.12). Полное ускорение точки М будет

Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом μ, который вычисляется по формуле

Подставляя сюда значения a_τ  и a_n, получаем

Так как ω и ε имеют в данный момент времени для всех точек тела одно и то же значение, то ускорения всех точек вращающегося твердого тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол μ с радиусами описываемых ими окружностей. Поле ускорений точек вращающегося твердого тела имеет вид, показанный на рис.14.

3. Векторы скорости и ускорения точек тела. Чтобы найти выражения непосредственно для векторов v и a, проведем из произвольной точки О оси АВ радиус-вектор   точки М (рис. 13). Тогда h=r∙sinα и по формуле

Таким образом, модуль векторного произведения   равен модулю скорости точки М. Направления векторов   и v тоже совпадают (оба они перпендикулярны плоскости ОМВ) и размерности их одинаковы. Следовательно,   - формула Эйлера, т.е. вектор скорости любой точки вращающегося тела равен векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки.

Билет №10.