1). Трение качения. Коэффициент трения качения k (пример с цилиндром на наклонной под углом плоскости).

2). Работа силы. Мощность. Работа силы тяжести точки.

28-билет

 Трение качения

Сопротивление, возникающее при качении одного тела по другому, называется трением качения. Оно обусловлено деформациями этих тел (рисунок 28).

 

Рисунок 28

На рисунке 28 показано два разных состояния одного и того же катка. Слева изображен каток в состоянии покоя. Удельное давление на контактной площадке (которая образуется в результате деформации контактирующих звеньев) распределяется симметрично (по теории Герца – по эллиптическому закону) относительно линии действия приложенной нагрузки. В результате нормальная реакция совпадает с линией действия внешней силы и уравновешивает ее.

Справа каток движется под действием силы F, приложенной к катку на некотором плече h. Происходит перераспределение деформации таким образом, что впереди катка (по ходу движения) образуется волна деформации. Эпюра удельного давления трансформируется и нормальная реакция смещается вперед по ходу движения катка на величину k, создавая момент сопротивления. Этот момент сопротивления называется моментом трения качения, плечо k – коэффициентом трения качения.

Формула для определения момента трения качения аналогична формуле для определения силы трения в поступательной паре (коэффициент трения качения, как и коэффициент трения скольжения, является справочным материалом – определяется экспериментально). Однако надо помнить, что коэффициент трения качения величина размерная – имеет линейную размерность (м, см, мм).

В высшей кинематической паре возможно не только качение одного звена по поверхности другого, но и относительное скольжение соприкасающихся поверхностей. Поэтому представляет интерес условие, при котором будет происходить тот или иной процесс.

Для того чтобы звено катилось, движущий момент должен быть больше момента сопротивления (или равен ему). В данном случае в качестве момента сопротивления выступает момент трения качения:

Для того чтобы звено скользило вдоль поверхности второго, движущая сила должна быть больше силы трения скольжения (или равна ей):

Звено будет двигаться по пути наименьшего сопротивления. Поэтому будет происходить чистое качение, если:

Соответственно условие чистого скольжения:

При  k/h = f  происходит неопределенное движение (одновременное качение со скольжением).

Если движущая сила приложена в центре катка, то вместо плеча h надо подставить радиус катка r. 

Видно, что с уменьшением радиуса резко возрастает сопротивление качению и, с большей вероятностью, под действием движущей силы каток будет скользить (поэтому колеса транспортных машин, требующих значительной проходимости в любую погоду, – колесные трактора, вездеходы, «внедорожники» – имеют большой диаметр)

2)Работа силы.

Мерой действия силы при превращении механического движения в другую форму движения является работа силы.

Работа постоянной по модулю и направлению силы F на прямолинейном перемещении s ее точки приложения равна

Если угол  α  острый, то работа силы положительна, если тупой – отрицательна. 

Если направления силы и перемещения совпадают (α=0), то A = Fs; 

Если направление силы перпендикулярно направлению перемещения (α=90◦), то А = 0; 

Если направление силы противоположно направлению перемещения (α=180◦), то A = -Fs.

Элементарная работа силы F на перемещении точки из одного положения в другое по криволинейной траектории

δA = Fδs cos (F,v) ,

где δs – пройденный точкой элементарный путь;

        ∠F, v – угол, составленный направлением силы F и скоростью v.

В случае переменной силы определяется элементарная работа на малом перемещении, и после суммирования элементарных работ получается работа силы на конечном перемещении:

Для тела, вращающегося под действием силы вокруг оси, можно после разложения силы по естественным осям получить

δA = F_τ ⊗ δs ⊕ F_n ⊗ δs ⊕ F_b⊗ δs = F ⊗ δs.

Приняв δs = r δφ, получим δA = F_τ ⋅ r ⋅ δφ = M ⋅ δφ  или

Если действующие силы и момент постоянны, то вышеприведённые формулы принимают вид

 A =F ⊗ s,   A = M ⋅ φ.

При качении тел по поверхностям возникает момент сопротивления качению, который определяется по формуле

 M_сопр= N ⋅ f_k ,

где  N  - нормальная реакция поверхности;

          f_k  (или δ) - коэффициент трения качения.

Работа момента сопротивления качению всегда отрицательна:

 A = -M_сопр ⋅ φ.

 

Мощность.

Мощностью называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность

где t - время, в течение которого произведена работа A. В общем случае

Следовательно, мощность равна произведению касательной составляющей силы на скорость движения.

Единицей измерения мощности в системе СИ является ватт (1 вт=1 дж/сек). В технике за единицу мощности часто принимается 1 лошадиная сила, равная 75 кГм/сек или 736 вт.

Работу, произведенную машиной, можно измерять произведением ее мощности на время работы. Отсюда возникла употребительная в технике единица измерения работы киловатт-час (1 квт-ч = 3,6∙10⁶дж ≈367100 кГм).

Из равенства   видно, что у двигателя, имеющего данную мощность W, сила тяги   будет тем больше, чем меньше скорость движения V. Поэтому, например, на подъеме или на плохом участке дороги у автомобиля включают низшие передачи, позволяющие при полной мощности двигаться с меньшей скоростью и развивать большую силу тяги.

 

Работа силы тяжести. Пусть точка М, на которую действует сила тяжести  , перемещается из положения М₀ (x₀, у₀, z₀) в положение M₁ (х₁, у₁, z₁). Выберем оси координат так, чтобы ось Ozбыла направлена вертикально вверх (рис.4).

Рис.4

 Тогда Р_x=0, Р_y=0, P_z= -Р. Подставляя эти значения и учитывая переменную интегрирования z: Если точка M₀ выше М₁, то  , где h-величина вертикального перемещения точки;             

Если же точка M₀ ниже точки M₁ то  .

Окончательно получаем:  .

Следовательно, работа силы тяжести равна взятому со знаком плюс или минус произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения. Работа положительна, если начальная точка выше конечной, и отрицательна, если начальная точка ниже конечной. Из полученного результата следует, что работа силы тяжести не зависит от вида той траектории, по которой перемещается точка ее приложения.

Силы, обладающие таким свойством, называются потенциальными

Билет №29.