1). Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом.

2). Кинетическая энергия системы. Вычисление кинетической энергии тела при поступательном, вращательном и плоскопараллельном движении.

1). Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения координатным способом.

Определение скорости и ускорения точки при задании её движения координатным способом.

Положение точки можно непосредственно определять ее декартовыми координатами х, у, z (рис.3), которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон движения точки, т.е. ее положение в пространстве в любой момент времени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т.е. знать зависимости

x=f₁(t), y=f₂(t), z=f₃(t).

Уравнения представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения.

Чтобы получить уравнение траектории надо из уравнений движения исключить параметр t.

4.2 Касательное ускорение точки равно первой производной от модуля скорости или второй производной от расстояния по времени. Касательное ускорение обозначается –   .

 .

Касательное ускорение в данной точке направлено по касательной к траектории движения точки; если движение ускоренное, то направление вектора касательного ускорения совпадает с направлением вектора скорости; если движение замедленное – то направление вектора касательного ускорения противоположно направлению вектора скорости. (рис. 8.5.)

Рис. 8.5

Нормальным ускорением точки принято называть величина, равная квадрату скорости, делœенному на радиус кривизны.

Вектор нормального ускорения направлен от данной точки к центру кривизны, (рис.8.6.). Нормальное ускорение обозначается   .

 – нормаль к данной точке на траектории движения.

Рис. 8.6.

Полное ускорение точки   определяется из векторного уравнения:

Рис. 8.7

Зная направление и модули   и   , по правилу параллелограмма определим ускорение, соответствующее данной точке траектории движения. Тогда модуль ускорения   определим:

 .

2). Кинетическая энергия системы. Вычисление кинетической энергии тела при поступательном, вращательном и плоскопараллельном движении.

Кинетическая энергия системы. Вычисление кинетической энергии тела при поступательном, вращательном и плоскопараллельном движении.

1.кинетическая энергия тела при поступательном движении равна половине произведения массы тела на квадрат скорости центра масс.

или

2.кинетическая энергия тела при вращательном движении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.

3. при плоскопараллельном движении кинетическая энергия тела равна энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного движения вокруг центра масс.

Билет №16.

1). Касательное и нормальное ускорения точки. Частные случаи движения точки: прямолинейное, равномерное прямолинейное, равномерное криволинейное и равнопеременное криволинейное.

2). Закон сохранения количества движения системы. Явления отката и отдачи.

Билет №16

Ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости. Оно показывает, на какую величину изменяется скорость тела за единицу времени.

Р ис.12

                                                     

Отложим вдоль касательной Mτ и главной нормали Mn векторы    и  , численно  равные a_τ и a_n (рис. 12).  Эти векторы изображают касательную и нормальную составляющие ускорения точки. При этом составляющая   будет всегда  направлена в сторону вогнутости кривой (величина a всегда положительна),  а составляющая   может быть направлена или в положительном, или в отрицательном направлении оси Mτ в зависимости от знака проекции a_τ  (см. рис.12, а и б).

Вектор ускорения точки   изображается диагональю параллелограмма, построенного на составляющих    и  . Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны, то по модулю:

Некоторые частные случаи движения точки.

Пользуясь полученными результатами, рассмотрим некоторые частные случаи движения точки.

 

Равномерное прямолинейное движение

Равномерное прямолинейное движение - это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения, т. е. это движение с постоянной по модулю и направлению скоростью:

 — уравнение скорости,

 — уравнение ускорения.

Пусть в момент времени t₀=0 координата тела х₀, в момент t - х (рис. 14).

Тогда за промежуток времени Δt=t-t₀=t координата X тела изменилась на величину ∆х = х - х₀. Следовательно, проекция скорости тела  ,следовательно, x=x₀+v_xt- кинематическое уравнение равномерного движения (уравнение зависимости координаты от времени). Проекция перемещения ∆r_x=х-х₀ ∆r_x=v_xt - уравнение перемещения.

При равномерном прямолинейном движении направление скорости не изменяется, поэтому путь  . Следовательно,   — уравнение пути.

Равномерное криволинейное движение

Равномерным называется такое криволинейное движение точки, в котором численная величина скорости все время остается постоянной: v=const.

Тогда   и все ускорение точки равно одному только нормальному:

Вектор ускорения   направлен при этом все время по нормали к траектории точки.

Так как в данном случае ускорение появляется только за счет изменения направления скорости, то отсюда заключаем, что нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Найдем закон равномерного криволинейного движения.

Из формулы    имеем ds=vdt.

Пусть в начальный момент (t=0) точка находится от начала отсчета на расстоянии s₀. Тогда, беря от левой и правой части равенства определенные интегралы в соответствующих пределах, получим

так как v=const. Окончательно находим закон равномерного криволинейного движения в виде s=s₀+vt.

Если s₀=0, то s даст путь, пройденный точкой за время t. Следовательно, при равномерном движении путь, пройденный точкой, расчет пропорционального времени, а скорость движения равна отношению пути ко времени s=vt,     v=s/t. 

Равнопеременное криволинейное движение.

Равнопеременным называется такое криволинейное движение точки, при котором касательное ускорение остается все время величиною постоянной: a_τ=const. Найдем закон этого движения, считая, что при t=0: s=s₀, а v=v₀, где v₀ - начальная скорость точки. Согласно формуле   имеем dv=a_τdt.

Так как a_τ=const, то, беря от обеих частей последнего равенства интегралы в соответствующих пределах, получим: v=v₀+a_τt.

Формулу представим в виде

Вторично интегрируя, найдем закон равнопеременного криволинейного движения точки в виде

Если при криволинейном движении точки модуль скорости возрастает, то движение называется ускоренным, а если убывает - замедленным.

 

Закон сохранения количества движения (закон сохранения импульса).

Из теоремы об изменении количества движения системы можно получить следующие важные следствия:

1) Пусть сумма всех внешних сил, действующих на замкнутую систему, равна нулю:

Тогда из уравнения   следует, что Q= =const. Таким образом, если сумма всех внешних сил, действующих на замкнутую систему, равна нулю, то вектор количества движения (импульса) системы будет постоянен по модулю и направлению.

2) Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например Оx) равна нулю:

Тогда из уравнения   следует, что при этом Q_x=const. Таким образом, если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция количества движения (импульса) системы на эту ось есть величина постоянная.

Эти результаты и выражают закон сохранения количества движения системы: при любом характере взаимодействия тел, образующих замкнутую систему, вектор полного импульса этой системы все время остается постоянным.

Из них следует, что внутренние силы изменить суммарное количество движения системы не могут.

Закон сохранения полного импульса изолированной системы – это универсальный закон природы. В более общем случае, когда система незамкнута, из   следует, что полныйимпульс незамкнутой системы не остается постоянным.  Его изменение за единицу времени равно геометрической сумме всех внешних сил.

Явление отдачи или отката. Если рассматривать винтовку и пулю как одну систему, то давление пороховых газов при выстреле будет силой внутренней. Эта сила не может изменить суммарное количество движения системы. Но так как пороховые газы, действуя на пулю, сообщают ей некоторое количество движения, направленное вперед, то они одновременно должны сообщить винтовке такое же количество движения в обратном направлении. Это вызовет движение винтовки назад, т.е. так называемую отдачу. Аналогичное явление получается при стрельбе из орудия (откат).

Билет №17.

1). Кинематика твердого тела. Поступательное движение тела.

2). Теорема об изменении момента количества движения системы (теорема моментов). Кинетический момент вращающегося тела вокруг неподвижной оси.

Билет 17

1. Абсолютно твердым телом называется материальное тело, в котором расстояния между любыми двумя его точками остается постоянным.

Существуют две основные задачи кинематики твердого тела:

1. задание движения и определение кинематических характеристик движения тела;

2. определение кинематических характеристик движения (траектории, скорости и ускорения) отдельных точек тела.

Можно выделить пять видов движения твердого тела:

1. поступательное движение;

2. вращательное движение;

3. плоскопараллельное движение;

4. сферическое движение;

5. общий случай движения свободного твердого тела.

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая проведенная в этом теле, перемешается, оставаясь параллельной самой себе.Поступательное движение не значит прямолинейное:

    

ТЕОРЕМА: при поступательном движении все точки тела описываютодинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

(3. 1)      (3. 2)

2. Теоре́ма об измене́нии коли́чества движе́ния (и́мпульса) систе́мы — одна из общих теорем динамики[1], является следствием законов Ньютона. Связывает количество движения с импульсом внешних сил, действующих на тела, составляющие систему. В качестве системы, о которой идёт речь в теореме, может выступать любая механическая система, состоящая из любых тел.

Формулировка теоремы

Количеством движения (импульсом) механической системы называют величину, равную сумме количеств движения (импульсов) всех тел, входящих в систему. Импульс внешних сил, действующих на тела системы, — это сумма импульсов всех внешних сил, действующих на тела системы.

• Теорема об изменении количества движения системы утверждает

Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно импульсу внешних сил, действующих на систему, за тот же промежуток времени.