1). Приведение плоской системы сил к простейшему виду. (Замена r и m одной силой r).

2). Решение основной задачи динамики при прямолинейном движении точки. Пример с постоянной силой q.

Билет 23

1.Приведение плоской системы сил к данному центру.

          Пусть на твердое тело действует какая-нибудь система сил  , лежащих в одной плоскости. Возьмем в этой плоскости произвольную точку О, которую назовем центром приведения, и, перенесем все силы в центр О (рис. 20, а). В результате на тело будет действовать система сил   приложенных в центре О, и система пар, моменты которых будут равны: 

 

Рис.20

 

Силы, приложенные в центре О, можно заменить одной силой  , приложенной в том же центре; при этом   или   

Точно так же, по теореме о сложении пар, все пары можно заменить одной парой, лежащей в той же плоскости. Момент этой пары   или  .

Величина  , равная геометрической сумме всех сил системы, называется, как известно, главным вектором системы; величину М_о, равную сумме моментов всех сил системы относительно центра О, будем называть главным моментом системы относительно центра О.

В результате мы доказали следующую теорему: всякая плоская система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно взятому центру О заменяется одной силой R, равной главному вектору системы и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом М₀, равным главному моменту системы относительно центра О (рис. 20, в).

Примечания:

            1. Для плоской системы сил под главным моментом системы часто также понимают величину этого момента.

            2. Очевидно, что главный вектор R₀ не зависит, а главный момент M₀ зависит от выбора центра приведения.

Частные случаи приведения плоской системы сил.

В зависимости от значений главного вектора R₀  и главного момента M₀ возможны следующие случаи приведения плоской системы сил.

1) R₀  =0, M₀ =0 - система сил находится в равновесии;

2) R₀  =0, M₀ ≠0 - система эквивалентна паре сил с моментом, равным главному моменту системы, который в этом случае не зависит от выбора центра приведения;

3) R₀ ≠0, M₀ =0 - система эквивалентна равнодействующей R, равной и эквивалентной главному вектору системы R₀ , линия действия которой проходит через центр приведения: R = R₀  , R~R₀ ;

4) R₀  ≠ 0, M₀ ≠0 - система эквивалентна равнодействующей R, равной главному вектору системы R₀, ее линия действия проходит на расстоянии d = |M₀|/ R₀ от центра приведения (рис.20, б).

 

Решение основной задачи динамики при прямолинейном движении точки

Движение материальной точки будет прямолинейным, когда действующая на нее сила (или равнодействующая приложенных сил) имеет постоянное направление, а скорость точки в начальный момент времени равна нулю или направлена вдоль силы.

Если координатную ось Ox направить вдоль траектории движения, то дифференциальное уравнение ее движения будет определяться первым из уравнений , т.е. или   (1)

Иногда дифференциальное уравнение (1) удобнее заменить двумя уравнениями, содержащими первые производные:    (2)

В случаях, когда при решении задачи надо искать зависимость скорости от координаты x, а не от времени t (или когда силы зависят от x), уравнение (2) преобразуют к переменному х. Так как dv_x/dt=dv_x/dt · dx/dx= v_x dv_x/dt, то вместо (2) получим:    (10)

Решение основной задачи динамики сводится к тому, чтобы из данных уравнений, зная силы, найти закон движения точки, т.е. функцию x=f(t). Для этого следует проинтегрировать соответствующее дифференциальное уравнение движения точки. Чтобы стало понятнее, к чему сводится эта математическая задача, напомним, что входящие в правую часть уравнения (1) силы могут зависеть от:

времени t;

б) положения точки, т.е.от координаты х;

в) скорости точки v.

Следовательно, в общем случае уравнение (8) с математической точки зрения представляет собой дифференциальное уравнение 2-го порядка, имеющее вид

При интегрировании дифференциального уравнения в полученное решение войдут две постоянные интегрирования С₁ и С₂и в общем случае решение уравнения (8) будет иметь вид:

x = f (t, x, v, C₁, C₂)(11)

Для определения постоянных С₁ и С₂ используютначальные условия. Изучение всякого движения будем начинать с некоторого момента времени, называемого начальным. От этого момента будем отсчитывать время движения, считая, что в начальный момент t=0. Положение, которое точка занимает в начальный момент времени, называется начальным положением, а ее скорость в этот момент – начальной скоростью.

Таким образом, чтобы решить основную задачу динамики надо, кроме действующих на точку сил, знать еще начальные условия, т.е. положение и скорость точки в начальный момент времени.

Билет №24.