Билет № 11

1. Упругие волны в стержнях. Волновое уравнение.

ᶓ=f(t-x/v), ϕ= t-x/v, тогда

- в положительном направлении, + в отрицательном направлении оси Х.

∂ᶓ/∂t=u_x-проекция скорости частицы среды, движущейся около своего положения равновесия, а ∂ᶓ/∂x=Ɛ-относительная деформация среды.

Это величина алгебраическая, может быть > 0(растяжение),= 0, <0(сжатие).

Уравнение для волны любого направления:

Выражения для сферических и цилиндрических волн являются решением последнее уравнения (3-х мерный случай).

Рассмотрим малый элемент стержня (тонкий стержень, т.е. толщина мало по сравнению с длиной волны) ∆х << λ в момент, когда при прохождении волны он растянут. Применим к этому элементу 2 закон Ньютона:

S-площадь поперечного сечения.(1.24) σ=ƐЕ-напряжение (Н/м²), Е-модуль Юнга(Па). Знаки σ и Ɛ одинаковы. Перепишем правую часть уравнения:

Пришли к волновому уравнению, где v=sqrt(E/ρ)- для продольных; v=sqrt(G/ρ)-для поперечных; Gмодуль сдвига среды.

2. Цикл Карно. Коэффициент полезного действия идеальной тепловой машины.

Т епловая машина – периодически действующее устройство, преобразующее внутреннюю энергию в механическую работу. Любая тепловая машина работает по замкнутому циклу. Рабочее тело тепловой машины (обычно газ или жидкость) периодически расширяется и сжимается, получая за цикл от «нагревателя» количество теплоты Q1 и отдавая «холодильнику» тепло Q2 . Нагревателем и холодильником называют два тепловых резервуара, один с более высокой температурой, чем другой. Если процесс совершается по часовой стрелке, то работа A , производимая машиной за цикл, положительная и численно равна площади фигуры, ограниченной графиком кругового процесса. Из различных круговых процессов особое значение имеет цикл

Карно, который состоит из двух изотерм и двух адиабат. При изотермическом расширении рабочее тело получает от нагревателя тепло при постоянной температуре T1 , а при изотермическом сжатии отдает холодильнику тепло при постоянной температуре T2 . При адиабатическом расширении температура понижается от T1 до T2 , а при адиабатическом сжатии температура повышается от T2 до T1 .

S 𝑄/𝑇 (3.3)

3. На толкание ядра массой 2 кг, брошенного под углом 60 к горизонту, затрачена работа 120 Дж. Через какое время ядро упадет на землю?

A m02 υ₀  2A υy υ0y  gt1 υ0y  g t 0y  gt

2 m 2 2 t _ 2₀sin_ 2 2A sin g m g

3. Газ массой m и молярной массой мю находится под давлением Р между 2 одинаковыми горизонтальными пластинами. Температура газа растет линейно от т1 у нижней пластины до т2 у верхней. Найти объем газа между пластинами.

Пусть площадь пластин равна S, а расстояние между ними равно h.

Рассмотрим слой газа толщиной dx, находящийся на расстоянии х от нижней пластины. Он имеет объем dV = Sdx.

Билет № 12

1. Вынужденные колебания. Механический резонанс.

Движение системы под воздействием внешней периодической силы называют вынужденными колебаниями, саму внешнюю силу называют вынуждающей силой. В простейшем случае вынуждающая сила изменяется по закону

Fx Fm cos ωt

Теперь на частицу действуют три силы: квазиупругая, сила сопротивления и вынуждающая сила:

(1)

По истечении некоторого времени с момента начал действия вынуждающей силы в системе установятся гармонические колебания с частотой вынуждающей силы, но отстающие от нее по фазе:

x  acos(t ). (2)

Определим амплитуду вынужденных колебаний a и фазовый сдвиг  . Для этого найдем при помощи (2) производные x с точкой и с 2 точками:

и подставим их в уравнение (1):

Сложение колебаний проведем методом векторных диаграмм (рис.)

Резонанс. График зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешнего воздействия  (см. рис.) при   0 содержит резкий максимум при частоте рез . Такое резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний при их частоте близкой к частоте собственных колебаний, называют явлением резонанса. Частоту, при которой амплитуда достигает максимума, называют резонансной частотой. Ее можно найти из условия

После преобразований получим рез  sqrt(²0 2²) . (5)

Амплитуда колебаний при резонансе получается из формул (3) и (5):

Чем меньше коэффициент затухания  , тем более ярко выражен резонанс. Зависимость фазового сдвига от частоты называется фазово-частотной характеристикой (рис.).

2. Тепловые и холодильные машины. Второе начало тд. Теорема Карно.

Т епловая машина – периодически действующее устройство, совершающий работу за счет получаемого извне тепла. Любая тепловая машина работает по замкнутому циклу. Рабочее тело тепловой машины (обычно газ или жидкость) периодически расширяется и сжимается, получая за цикл от «нагревателя» количество теплоты Q1 и отдавая «холодильнику» тепло Q2 . Нагревателем и холодильником называют два тепловых резервуара, один с более высокой температурой, чем другой. Если процесс совершается по часовой стрелке, то работа A, производимая машиной за цикл, положительная и численно равна площади фигуры, ограниченной графиком кругового процесса.

В соответствии с первым началом термодинамики Q1  Q2  U  A, причем изменение внутренней энергии рабочего тела за цикл равно нулю. КПД тепловой машины равно

  A/Q11  Q2/Q1.

Если обратить цикл на рисунке, то получится цикл холодильной машины. Такая машина отбирает за цикл от тела с температурой Т2 количество тепла Q2 и отдает телу с более высокой температурой Т1 количество тепла Q1. Над машиной за цикл должна быть совершена работа. Эффективность холодильной машины определяется холодильным коэффициентом:

Q2/A=Q2/(Q1-Q2)

Первая теорема Карно. Коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по циклу Карно, не зависит от природы рабочего тела и устройства машины, а является функцией только температуры нагревателя и холодильника. Вторая теорема Карно. Коэффициент полезного действия любой тепловой машины, не превышает коэффициента полезного действия машины, работающей по циклу Карно, при тех же температурах нагревателя и холодильника.

Второе начало термодинамики

1. Клаузиус (1850): Невозможны процессы, единственным результатом которых был бы переход тепла от менее к более нагретому телу.

2. Кельвин (1851): Невозможен круговой процесс, единственным результатом которого было бы производство работы за счет охлаждения теплового резервуара (невозможно существование вечного двигателя 2 рода).

3. Энтропия замкнутой (теплоизолированной) макросистемы не уменьшается – она либо возрастает, либо остается постоянной.

   3. Конический маятник состоит из нити длиной 1,2 м и прикрепленного к ней шарика. Определить скорость шарика при его движении по окружности, если угол отклонения нити от вертикали 30.

3. Определить скорость звука в воздухе при нормальных условиях, если считать, что процессы сжатия и расширения воздуха в волне происходят адиабатически. Молярная масса воздуха 29*10-3 кг/моль. Скорость звука определяется по формуле.