Билет № 22

1. Работа и кинетическая энергия. Кинетическая энергия твердого тела при его вращательном движении.

Работа силы F на малом перемещении  r определяется как скалярное произведение векторов силы и перемещения:

 A  F  r,

где F — проекция силы на направление движения точки ее приложения, а  — угол между силой и этим направлением. Работа и энергия измеряются в джоулях (Дж = Н • м).

Кинетической энергией материальной точки называется величина

Ek  m²/2 , (3)

где m - масса частицы,  модуль ее скорости. Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетических энергий всех точек системы.

Изменение кинетической энергии системы равно суммарной работе всех сил, действующих на ее точки. Доказательство. Пусть при перемещении материальной точки по некоторой траектории на нее действует сила F. Тогда F cos   F - проекция силы на направление касательной к траектории в данной точке. Следовательно, работа силы на участке траектории 1 – 2 равна

К инетическая энергия системы точек определяется как сумма кинетических энергий всех точек системы. Суммируя работы всех сил, действующих на точки системы, получим

Aвсех сил  Ek 2  Ek1

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси z с угловой скоростью  каждый малый фрагмент тела mj движется по окружности радиуса r j со скоростью  j  r j, направленной по касательной к окружности.

Вычислим кинетическую энергию твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:

Величину Iz   mj r²j, (2) называют моментом инерции твердого тела относительно оси z

2. Понятие о фазовом пространстве. Распределение Максвелла-Больцмана.

Фазовое пространство -это многомерное пространство координат и импульсов всех молекул статистической системы. Каждое состояние одной молекулы характеризуется 6- ю величинами: 3мя координатами и 3-мя проекциями импульса молекулы. Нарисовать такое пространство 6- и

и змерений невозможно. Для наглядности упростим задачу: пусть молекула может двигаться только вдоль одной оси. Тогда состояние такой частицы характеризуется двумя величинами: координатой и проекцией импульса (единственной, остальные проекции нулевые). А такое двумерное (плоское) пространство уже можно нарисовать. На рисунке показана (заштрихованный прямоугольник) ячейка фазового пространства одной молекулы при ее одномерном движении.

Наименьший «объем» такой ячейки не может быть меньше постоянной Планка (соотношение неопределенностей Гейзенберга) ΔΓ=Δ x Δ p x = h .

2. Уфизического маятника массой 4 кг и периодом колебаний 3 с расстояние от оси вращения до центра масс 0,2 м. определить момент инерции маятника относительно центра масс.

T=2pisqrt(I/mgd); I=Ic+md^2

2. Определить скорость распространения звука в идеальном газе, если вероятная скорость атомов газа в условиях опыта 620 м/с. Скорость звука определяется по формуле. Считать, что газ вполне сжимается адиабатически.

Билет № 23

1. Закон сохранения момента импульса механической системы относительно неподвижной оси.

Уравнение моментов в проекции на ось: dLz/dt=Mвнеш.z, Lz=∑ 𝐿𝑧𝑖, Mвнеш.z=∑ 𝑀𝑧𝑖

Если относительно некоторой неподвижной оси проекция Mвнеш.z=0, то момент импульса системы относительно этой оси сохраняется:

Lz= ∑ 𝐿𝑧𝑖=const

Закон сохранения момента импульса является фундаментальным законом, отражающим изотропность пространства, т. е. равноправие всех его направлений.

2. Барометрическая формула. Распределение Больцмана.

Распределение Больцмана. В отсутствие внешних сил средняя концентрация молекул газа в состоянии термодинамического равновесия всюду одинакова. Если же газ находится во внешнем силовом поле, ситуация становится иной.

Рассмотрим, например, поведение молекул газа, находящегося в поле сил тяжести. Если бы не было теплового движения, то все молекулы «упали» на поверхность Земли. Этому мешает тепловое движение. В результате устанавливается некоторое равновесие, и концентрация молекул становится зависящей от высоты.

Пусть газ находится во внешнем поле потенциальных сил, действующих для простоты в одном направлении и зависящих только от координаты z. При тепловом равновесии температура T должна быть одинакова по всей толщине газа, иначе бы возникли потоки тепла, и состояние газа не было бы равновесным.

Для определенности будем считать, что силы внешнего поля направлены вниз, а ось z - вверх (рис). Выделим мысленно столбик газа высотой dz с площадью основания S . Запишем условие равновесия этого столбика, использую гидростатический подход:

 Sdp  (nSdz) Fz  0 ,

где Fz   U/ z проекция внешней силы, действующей на каждую молекулу, U  потенциальная энергия молекулы во внешнем поле. Поэтому условие равновесия можно переписать в виде

dp  ndU .

Будем считать газ идеальным. Тогда p  nkT и dp  dn*kT. Разделяя переменные, получим уравнение dn /n   dU / kT,

после интегрирования которого найдем ln (n/ n0)   (U–U0)/ kT.

Будем считать, что U0  0 в тех точках, где n  n0 . Тогда n  n0*e^(U/ kT) (16)

Э тот закон выражает распределение Больцмана. С помощью распределения Больцмана можно найти число молекул в интересующем нас объеме dV : dN  ndV .

Во всех точках выделенного объема dV концентрация молекул должна быть одинаковой.

Рассмотрим случай изотермической атмосферы в однородном поле сил тяжести. Тогда U  m0 gz и распределение Больцмана принимает вид

n  n0e^(- m0 gz/kT)

На рисунке приведены два графика этого распределения. График 2 соответствует более высокой температуре, чем график 1. Если газ представляет собой смесь различных газов, то в состоянии термодинамического равновесия концентрация этих газов должна убывать с высотой экспоненциально с различной «скоростью» - в зависимости от масс молекул. Более крутая экспонента соответствует более тяжелым молекулам.

Барометрическая формула

Умножив обе части формулы n  n0*e^(U/ kT) на kT , получим формулу для давления

p= p0 exp (- m0 gz/kT) . (17) Ее можно переписать в виде p= p0 exp (-gz/RT) (18)

где  - молярная масса. Это так называемая барометрическая формула. Она строго применима для идеального газа, температура которого не зависит от высоты. На рис. показаны два графика при температурах T2  T1.

3. Найти вероятную скорость, среднюю кинетическую энергию поступательного движения и среднюю полную кинетическую энергию молекул кислорода при 30С.

3. Аргон, масса которого 6,2 г, нагревают от 310 до 410 К. найти изменение энтропии аргона, если известно, что начальное и конечное давления одинаковы и близки к атмосферному.