Билет № 13
1. Свободные затухающие колебания. Декремент и логарифмический декремент затухания. Добротность колебательной системы.
Если колебания происходят при отклонении системы от устойчивого положения равновесия без внешних воздействий, то их называют свободными или собственными.
Если в колебательной системе происходят потери энергии, то амплитуда колебаний уменьшается со временем. Будем исходить из основного уравнения динамики, предполагая, что на частицу массы m кроме квазиупругой силы Fу kx действует сила сопротивления, пропорциональная скорости частицы Fx r x r ẋ . Тогда уравнение движения имеет вид: mẍ=-kx-rẋ или ẍ+2βẋ+ω02x=0 (8), где 2β= r/m, ω02=k/m.
Частоту 0 - называют собственной частотой осциллятора, а - коэффициентом затухания. Уравнение (8) при 0 имеет решение x(t)=a0exp(-βt)cos(ωt+α) (9)
где sqrt(0 2 2)- частота затухающих колебаний, а постоянные a и определяются из начальных условий. Кривая x(t) , представляемая формулой (9), не периодична. Однако величина x периодически проходит через ноль и бесконечное число раз достигает максимума и минимума. В этом смысле процессы, описываемые этой формулой, являются колебательными. Они называются затухающими колебаниями. Величину T 2 / называют периодом затухающих
колебаний, а величину A (t )= a0exp(-βt) –амплитудой затухающих колебаний. Она экспоненциально убывает во времени.
Время 1/ , за которое амплитуда убывает в e раз, называется временем релаксации.
Обратная этому времени величина называется коэффициентом затухания.
𝐴(𝑡)
За период затухающих колебаний амплитуда убывает в =exp(βT) раз. Логарифм этого
𝐴(𝑡+𝑇)
отношения
𝐴(𝑡)
ln =T
𝐴(𝑡+𝑇)
называется логарифмическим декрементом затухания.
=1/Ne, Ne- число колебаний за время релаксации.
При малом затухании <<0 характеризует относительное уменьшение амплитуды колебаний за период. В этом случае
𝐴+𝛿𝐴 𝛿𝐴 𝛿𝐴 ln = ln (1 + )=
𝐴 𝐴 𝐴
Добротность по определению Q=∏/λ=∏Ne- пропорциональна числу колебаний за время релаксации.
2. Политропический процесс. Теплоемкость и работа при политропическом процессе.
1 начало: A=Q-∆U=Cn∆T-Cv∆T=(Cn-Cv)∆T
Адиабатический процесс для идеального газа в p-v дан, вывести для p-T.
V=uRT/p и в уравнение адиабаты. Имеем, p^(1-j)T^j-=const.
0Рассчитать среднюю длину свободного пробега молекул кислорода, коэффициенты диффузии и вязкости при 120 кПа и 300 К. как изменяются найденные величины в результате 2 увеличения объема газа при постоянном давлении. Эффективный диаметр молекул 0,38 нм.
Билет № 14
1. Физический маятник. Период малых колебаний физического маятника.
Т
ело,
способное совершать колебания относительно
неподвижной горизонтальной оси под
действием силы тяжести. Рассмотрим
колебания под действием силы тяжести.
Вберем положительное направление
отсчета угла ϕ против часовой (ось z к
нам). Тогда проекция момента силы тяжести
на эту ось: Mz=-mglsinϕ и уравнение динамики
вращательного движения:
I ϕ̈=-mglsinϕ, I-момент инерции тела относительно оси О, l-расстояние между О и центром масс С.
Ограничимся рассмотрением малых колебаний, при которых sinϕ≈ϕ. При этом предыдущее уравнение: ϕ̈+(mgl/I)ϕ=0. Колебания будут гармоническими с частотой ω0 и периодом Т:
𝐼/𝑚𝑔𝑙
такую же частоту и период имеет математический маятник длины lпр=I/ml, которую называют приведенной длиной. Точку O’, которая находится на
прямой, проходящей через точку подвеса
О и центр масс С, и отстоит от точки О на
lпр, называют центром качения физического
маятника. Свойство его: если маятник
перевернуть и заставить совершать малые
колебания вокруг O’, то период колебаний
не изменится. (определение ускорения
свободного падения с помощью оборотного
маятника: OO’=lпр, определяем lпр и ω0,
затем g из формулы
.
2. Адиабатический процесс. Работа идеального газа в адиабатическом процессе.
1 начало: A=Q-∆U=Cn∆T-Cv∆T=(Cn-Cv)∆T
n=ϒ , A=-∆U
определить линейную скорость центра сплошного шара, скатившегося без скольжения с наклонной плоскости высотой 2 м.
Изобразите цикл Карно в p-v, p-T, нарисовать формулы, отвечающие процессам цикла Карно в этих координатах.
