Билет № 20

1. Связь между потенциальной энергией и силой. Потенциальная энергия тяготения и упругих деформаций.

Связь силы с потенциальной энергией. Рассмотрим сначала однородное силовое поле F  const . Пусть точки 1 и 2 лежат на оси х и имеют координаты х1 и х2. Тогда для разности потенциальных энергий точках 1 и 2 можно записать

U1- U2= A12= F x cos=F_х  x

Следовательно,

Fx =- U2+U1/ x =-  U/ x (7), где U - приращение потенциальной энергии, а x - приращение координаты.

Если силовое поле неоднородное, то можно рассмотреть бесконечно близкие точки 1 и 2. Формула (7) тогда будет записана для бесконечно малых приращений потенциальной энергии U и координаты x . Такое отношение называют частной производной функции трех переменных U(x, y, z) по переменной х (обозначают U / x ). Аналогичным образом можно получить формулы для проекций вектора F и на остальные координатные оси декартовой системы координат:

Выражение, стоящее в скобках, называется градиентом скалярной величины U и обозначается grad(U)-вектор, направленный в сторону возрастания функции . Таким образом, формулу (7) можно записать короче F  grad(U) .

По определению изменение потенциальной энергии Ep2  Ep1 равно работе сил поля, взятой с обратным знаком: U2 U1  A12 (6)

где U1= U(r1) и U2= U (r2) значения потенциальной энергии в точках 1 и 2, положение которых определяется векторами r1 и r2 , A12 - работа сил поля при перемещении частицы из точки 1 в точку 2. Существенно, что эта работа не зависит от формы траектории. Если перемещение частицы в поле осуществляется очень медленно с помощью внешней силы, то работа внешней силы будет равна по величине и противоположна по знаку работе сил поля, т. е.

Aвнеш  A12 U2 U1 .

Равенство (6) дает определение разности потенциальных энергий, т. е. определяет потенциальную энергию с точностью до константы. Чтобы сделать определение однозначным, надо задать значение потенциальной энергии в какой-то точке пространства (обычно задают точку, в которой потенциальная энергия равна нулю).

Работа силы тяжести mg при перемещении точки массой m с высоты h1 на высоту h 2равна

Отсюда следует, что потенциальная энергия точки в поле тяжести равна U(h)  mgh, где высота h отсчитывается от любого оговоренного нулевого уровня.

Потенциальная энергия системы материальных точек в поле тяжести равна:

где m  масса системы, hc - высота, на которой находится ее центр масс. Работа силы упругости равна

где x 1 и x 2- начальная и конечная деформации пружины. Следовательно, потенциальная энергия упругой пружины равна

U(x) 1/2 kx²,

где за нуль принята энергия недеформированной пружины.

2. Цикл Карно. Теорема Карно.

Цикл Карно.

Первая теорема Карно. Коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по циклу Карно, не зависит от природы рабочего тела и устройства машины, а является функцией только температуры нагревателя и холодильника.

Вторая теорема Карно. Коэффициент полезного действия любой тепловой машины, не превышает коэффициента полезного действия машины, работающей по циклу Карно, при тех же температурах нагревателя и холодильника.

2. Показать, что фотон, излучаемый космическим объектом, который движется к земле со скоростью V, приближается со скоростью С, а не V+С.

2. Определить массу атмосферы земли при условии, что температура атмосферы не изменяется по высоте, т=конст, а давление на поверхности земли 1 атм. Радиус земли 6400 км.