Работа поля при поляризации диэлектрика.

В выражении входит диэлектрическая проницаемость . Это означает, что в диэлектрике плотность энергии больше чем в вакууме. Это связано с тем, что при создании поля в диэлектрике совершается дополнительная работа, связанная с поляризацией диэлектрика. Подставим в выражение для плотности энергии значение вектора электрической индукции :

.

Первое слагаемое связано с энергией поля в вакууме, второе – с работой, затраченное на поляризацию единицы объема диэлектрика.

Элементарная работа, затраченная полем на приращение вектора поляризации равна .

.

Работа по поляризации единицы объема диэлектрика равна:

,

так как , что и требовалось доказать.

Электрическая энергия системы зарядов.

Р ассмотрим систему из двух точечных зарядов (см. рисунок) согласно принципу суперпозиции в любой точке пространства:

.

Плотность энергии электрического поля

.

Первое и третье слагаемые связаны с электрическими полями зарядов и соответственно, а второе слагаемое отражает электрическую энергию, связанную со взаимодействием зарядов:

.

Собственная энергия зарядов величина положительная , а энергия взаимодействия может быть как положительной, так и отрицательной .

В отличие от вектора энергия электрического поля – величина не аддитивная. Энергию взаимодействия можно представить более простым соотношением. Для двух точечных зарядов энергия взаимодействия равна:

,

которую можно представить как сумму:

,

где - потенциал поля заряда в месте нахождения заряда , а - потенциал поля заряда в месте нахождения заряда .

Обобщая полученный результат на систему из произвольного числа зарядов, получим:

,

где - заряд системы, - потенциал, создаваемый в месте нахождения заряда, всеми остальными зарядами системы.

Если заряды распределены непрерывно с объемной плотностью , сумму следует заменить объёмным интегралом:

,

где - потенциал, создаваемый всеми зарядами системы в элементе объемом . Полученное выражение соответствует полной электрической энергии системы.

Примеры.

1. Заряженный металлический шар в однородном диэлектрике.

На этом примере мы выясним почему электрические силы в диэлектрике меньше чем в вакууме и рассчитаем электрическую энергию такого шара.

Н апряжённость поля в диэлектрике меньше напряжённости в вакууме в раз .

Это связано с поляризацией диэлектрика и возникновением у поверхности проводника связанного заряда противоположного знака заряда проводника (см. рисунок). Связанные заряды экранируют поле свободных зарядов , уменьшая его всюду. Напряжённость электрического поля в диэлектрике, равна сумме , где - напряжённость поля свободных зарядов, - напряжённость поля связанных зарядов. Учитывая, что , находим:

→ →

→ → →

.

Поделив на площадь поверхности проводника, находим связь между поверхностной плотностью связанных зарядов и поверхностной плотностью свободных зарядов :

.

Полученное соотношение пригодно для проводника любой конфигурации в однородном диэлектрике.

Найдём энергию электрического поля шара в диэлектрике:

Здесь учтено, что , а элементарный объём с учётом сферической симметрии поля выбран в форме шарового слоя. – ёмкость шара.

2. Свободный заряд равномерно распределен по объему шара радиусом из однородного диэлектрика с проницаемостью . Определить энергию электрического поля шара.

Так как зависимость напряжённости электрического поля внутри и вне шара от расстояния до центра шара r описывается различными функциями:

вычисление энергии сводится к сумме двух интегралов:

.

Отметим, что на поверхности и в объёме диэлектрического шара возникают связанные заряды:

, ,

где - объёмная плотность свободных зарядов в шаре.

Доказательство проведите самостоятельно, используя связи , и теорему Гаусса .

3. Система состоит из двух концентрических металлических оболочек радиусами и с соответствующими зарядами и . Определить полную электрическую энергию системы.

Собственная энергия каждой оболочки равны соответственно (см. пример 1.):

, ,

а энергия взаимодействия оболочек:

.

Полная энергия системы равна:

.

Если оболочки заряжены одинаковыми по величине зарядами противоположного знака (сферический конденсатор), полная энергия будет равна:

где - ёмкость сферического конденсатора.

4. Плоский конденсатор заполнен двумя слоями диэлектриков толщиной с проницаемостью и . Определить ёмкость такого конденсатора.

Напряжение, приложенное к конденсатору равно:

,

где и - напряжённость электрического поля в слоях.

Электрическая индукция в слоях:

- поверхностная плотность свободных зарядов на пластинах конденсатора.

Учитывая связь из определения ёмкости, получаем:

.

Полученная формула легко обобщается на случай многослойного диэлектрика:

.

Лекция 9.