Понятие потенциала.

Описание электростатического поля с помощью вектора не является единственным. Существует другой способ описания с помощью скалярной величины, называемой потенциалом .

Следствие, что линейный интеграл , не зависит от формы траектории и определяется только началом и концом позволяет утверждать, что в электростатическом поле существует некоторая скалярная функция координат , убыль которой равна:

,

где и - значения функции в точках 1 и 2. Так определенная величина называется потенциалом электростатического поля.

Так как рассматриваемый интеграл равен работе по перемещению единичного положительного заряда между точками 1 и 2 , а работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии:

,

ясно, что потенциал – это величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке электрического поля:

.

Потенциал является энергетической характеристикой и определен с точностью до постоянной. Поэтому потенциалу любой точки можно условно приписать любое значение . Точка называется полюсом. Тогда потенциалы всех остальных точек определяется соотношением:

.

Потенциал и равность потенциалов измеряется в вольтах (В):

.

Для конечного пространственного распределения зарядов полюс выбирают на бесконечности. Тогда можно положить равным нулю. В таком случае потенциал определяется линейным интегралом

.

При этом потенциал равен работе по перемещению единичного положительного заряда из данной точки поля в полюс, находящийся в бесконечности. Естественно выбрать , где нет поля.

Потенциал поля точечного заряда.

Подставим в соотношение для определения потенциала выражение для напряженности электрического поля точечного заряда:

.

При интегрировании учтем, что .

После интегрирования получаем:

.

Потенциал точечного заряда пропорционален величине заряда и убывает обратно пропорционально расстоянию, стремясь на бесконечности к нулю.

Потенциал поля системы зарядов.

Пусть система состоит из неподвижных точечных зарядов . Согласно принципу суперпозиции в любой точке поля напряженность равна , где - напряженность поля -го точечного заряда в исследуемой точке, находящейся на расстоянии от заряда .

Подставив в соотношение для определения потенциала значение , получим:

,

где - потенциал поля -го точечного заряда в исследуемой точке.

Таким образом, потенциал системы точечных зарядов в любой точке пространства равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых всеми точечными зарядами в этой точке.

Если заряды непрерывно распределены по объему, то сумму следует заменить объемным интегралом:

,

где интегрирование проводится по объему, где .

Аналогичные выражения получаются при поверхностном и линейном распределении зарядов:

, .

Таким образом, зная распределение зарядов, в принципе можно найти потенциал и разность потенциалов поля любой системы зарядов.

Рассмотрим ряд примеров расчета потенциала и разности потенциалов, которые понадобятся нам в дальнейшем изложении.

1. Потенциал поля точечного диполя.

С огласно принципу суперпозиции, учитывая, что :

Потенциал поля диполя зависит от его электрического момента p и убывает с расстоянием быстрее, чем потенциал поля точечного заряда .

2. Потенциал поля в точках на оси заряженного кольца.

Для расчета воспользуемся линейным интегралом:

,

где - заряд кольца. Для всех

- потенциал кольца убывает как потенциал поля точечного заряда.

В центре кольца (x = 0) потенциал равен:

.

3. Потенциал в точках на оси равномерно заряженного круга .

Д ля расчёта следует воспользоваться поверхностным интегралом:

.

Представим круг как систему колец с радиусами , тогда , , .

Для получим:

.

Для точек достаточно удаленных от круга :

.

Получите самостоятельно этот результат.

4. Потенциал поля объемно заряженного шара .

Для простоты расчетов примем .

Зависимость для этого случая представлена на рисунке. Потенциал точек внутри шара равен заштрихованной площади, согласно геометрическому смыслу интеграла:

,

т ак как потенциал равен работе по перемещению единичного положительного из данной точки в бесконечность, где потенциал принят равным нулю.

Учитывая зависимость:

где , получаем для точек внутри шара:

.

Д ля точек вне шара потенциал убывает с расстоянием как поле точечного заряда:

.

Зависимость представлена на рисунке, где

,

.