Ч астные случаи.

а) Поле бесконечной прямой нити.

Положив , ,

Находим , , . , .

б) Напряженность электрического поля в точках равноудаленных от концов прямой ити.

, , . .

Для малых углов получаем закон обратных квадратов:

, так как .

Лекция 3.

Поток вектора напряженности .

Величина напряженности равна числу силовых линий, пересекающих единичную поверхность, перпендикулярную силовым линиям в данном месте.

Число силовых линий, которые пересекают реальную или воображаемую поверхность, называется потоком вектора напряженности.

Ч исло силовых линий, пронизывающих элементарную площадку , нормаль к которой составляет угол с направлением вектора напряженности в данном месте равно:

,

,

-единичный вектор, перпендикулярный элементарной площадке, выбор направления которого условен.

Если имеется некоторая произвольная поверхность S, то поток вектора сквозь нее равен:

.

Поток величина алгебраическая, знак которой зависит не только от конфигурации поля , но и от выбора направления нормали. В случае замкнутых поверхностей принято нормаль выбирать в направлении наружной области пространства.

Поток через замкнутую поверхность будем представлять интегралом:

,

где кружок у интеграла означает, что интегрирование проводится по замкнутой поверхности.

Теорема Гаусса.

Поток вектора через замкнутую поверхность зависит только от алгебраической суммы зарядов, охваченных этой поверхностью. А именно:

,

где - алгебраическая сумма точечных зарядов, охваченных замкнутой поверхностью, или: - в случае непрерывного распределенного заряда в объеме , ограниченного замкнутой поверхностью.

При наличии однородного изотропного диэлектрика этот поток равен:

.

Доказательство.

Эта теорема является интегральным выражением закона Кулона и отражает то обстоятельство, что источниками и стоками электрического поля являются электрические заряды.

Р ассмотрим поток через сферическую поверхность, в центре которого находится точечный заряд q:

.

Для напряженности можно записать:

.

Откуда следует:

,

где . , если q>0 и , если q<0. Положительный заряд является источником силовых линий поля, отрицательный – стоком.

Число силовых линий, пресекающих сферическую поверхность, равно числу силовых линий, исходящих из точечного заряда. не зависит от радиуса сферы. Таким образом, поток не зависит от размеров сферической поверхности, более того, от формы замкнутой поверхности, которая охватывает точечный заряд. Все силовые линии, прошедшие сквозь сферическую поверхность, пересекут произвольную поверхность .

Е сли произвольная замкнутая поверхность охватывает систему точечных зарядов, то, очевидно, результирующий поток будет равен алгебраической сумме потоков от всех точечных зарядов через эту поверхность:

.

Что и требовалось доказать.

Поток через замкнутую поверхность для зарядов, находящихся вне этой поверхности равен нулю (см. рисунок), так как число силовых линий входящих и выходящих одинаково.