Теорема о циркуляции вектора .

Для магнитного поля в однородной и изотропной среде циркуляция вектора по произвольному контуру l равна:

,

где - алгебраическая сумма токов проводимости, охваченных контуром, - магнитная проницаемость среды.

Е сли направление обхода контура связано с направлением тока правилом правого буравчика, то в сумме ток берется со знаком плюс.

Пример. .

Если ток I распределен непрерывно по поверхности , то его можно представить интегралом:

,

г де вектор связан с направлением обхода контура правилом правого буравчика, - плотность тока, где расположена площадка .

Так как циркуляция вектора в общем случае не равна нулю, то это означает, что магнитное поле имеет вихревой характер, т.е. не является потенциальным.

Т еорема о циркуляции может быть доказана исходя из закона Био-Савара-Лапласа и принципа суперпозиции. Мы не будем доказывать эту теорему в общем случае произвольных токов. Ограничимся рассмотрением только прямолинейных токов.

Выберем в качестве кривой циркуляции одну из силовых линий прямого тока (см. рисунок) и найдем циркуляцию :

.

Покажем, что циркуляция не зависит от формы кривой. Рассмотрим произведение

.

Циркуляция равна:

.

Е сли кривая l не охватывает ток, то очевидно .

Пусть кривая l охватывает прямолинейных токов. Согласно принципу суперпозиции в любой точке кривой l:

.

Найдём циркуляцию :

.

Применение теоремы о циркуляции вектора .

Эта теорема играет примерно ту же роль, что и теорема Гаусса для вектора . При наличии симметрии в распределение токов теорема о циркуляции позволяет очень просто находить .

Рассмотрим несколько важных для практики примеров.

1. Магнитное поле прямого тока.

Пусть постоянный ток I течет вдоль длинного прямого цилиндрического провода радиусом R. Материал провода – парамагнетик с магнитной проницаемостью , т.к. проводник является однородным, то плотность тока .

Магнитное поле прямого тока обладает осевой симметрией (силовые линии являются окружностями с центром на оси провода, а значение одинаково во всех точках окружности). Совместив кривую циркуляции l с одной из силовых линий, легко вычислить циркуляцию :

.

Используя теорему о циркуляции вектора для поля внутри и вне провода:

Находим:

.

Вектор

.

В нутри проводника , а вне и по структуре аналогично полю тонкого прямого провода, расположенного вдоль оси цилиндра. У поверхности значение испытывает разрыв (см. график), так как для провода , а для вакуума .

Разрыв связан с появлением у поверхности проводника связанного тока, направленного против тока проводимости.

Если провод имеет форму тонкостенной трубки, то снаружи индукция убывает обратно пропорционально расстоянию от оси трубки:

,

а внутри трубки . Убедитесь в этом самостоятельно.

2. Магнитное поле соленоида.

Пусть ток течёт по проводнику, намотанному на цилиндр. Такой цилиндр называют соленоидом. Соленоид характеризуется числом витков на единицу длины (вит/м), площадью поперечного сечения , длиной и магнетиком, заполняющим соленоид.

О пыт показывает, что чем длиннее соленоид, тем меньше индукция магнитного поля вне соленоида. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле полностью сосредоточено внутри соленоида и является однородным из соображений симметрии следует, что силовые линии вектора направлены вдоль его оси и связаны с направлением тока в соленоиде правилом правого буравчика.

Кривую циркуляции, учитывая конфигурацию поля, выберем в форме прямоугольника (см. рисунок).

Найдём циркуляцию . Прямоугольный контур охватывает ток . Согласно теореме о циркуляции , откуда следует, что внутри длинного соленоида: .

Отметим, что у реального соленоида конечной длины магнитное поле в областях, прилегающих к торцам соленоида, будет меньше.