5. Разность потенциалов двух точек поля заряженной сферы .

Для точек вне сферы в однородном диэлектрике

.

Найдем разность потенциалов:

.

П ри интегрировании учтено, что , где – приращение модуля радиус-вектора .

6. Разность потенциалов двух точек поля заряженного цилиндра .

Для точек вне цилиндра в однородном диэлектрике:

,

где .

.

Лекция 5.

Связь между потенциалом и вектором .

Электрическое поле полностью описывается векторной функцией , которая позволяет найти силу, действующую на точечный заряд в любой точке поля, вычислить работу сил поля при перемещении заряда и др. Введение потенциала позволяет просто вычислить работу по перемещению заряда:

,

кроме того, зная потенциал , можно восстановить поле .

Приращение потенциала равно:

.

следовательно,

, , ,

где символ частной производной подчеркивает, что функцию надо дифференцировать, например, по , считая и при этом постоянными.

Таким образом, вектор можно представить в виде:

.

Напряженность поля равна со знаком минус градиенту потенциала.

Зная , по этой формуле можно восстановить поле .

Рассмотрим несколько примеров.

1. Найти напряженность поля, потенциал которого имеет вид: , где - постоянный вектор.

Представим ,

где - постоянные.

Найдём проекции:

, , ,

следовательно, .

Видно, что поле является однородным .

2. Напряженность поля на оси кольца. Зная потенциал поля на оси кольца , легко найти зависимость , взяв производную с обратным знаком:

.

Этот же результат мы получили, используя принцип суперпозиции.

3. Аналогично можно получить выражение для поля на оси круга.

Убедитесь в этом самостоятельно.

Эквипотенциальные поверхности.

Наглядно электростатическое поле можно изобразить с помощью эквипотенциальных поверхностей. Это поверхность, в каждой точке которой потенциал имеет одно и то же значение. Убедимся, что вектор направлен в каждой точке по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону уменьшения потенциала . Представим соотношение:

,

в следующем виде:

,

где , - проекция на направление перемещения, которая равна:

.

Проекция вектора на направление перемещения равна со знаком минус производной от потенциала по данному направлению. Знак минус перед производной указывает, что напряженность направлена в сторону убыли потенциала.

При перемещении вдоль эквипотенциальной поверхности в любом направлении

,

т.к. .

Следовательно, составляющая вектора на любое направление касательное к эквипотенциальной поверхности равно нулю . А это означает, что вектор перпендикулярен к эквипотенциальной поверхности в каждой её точке.

При перемещении вдоль нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону уменьшения потенциала нормальная составляющая будет положительной величиной , т.е. вектор направлен в сторону уменьшения потенциала, противоположно вектору .

Эквипотенциальные поверхности проводятся таким образом, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была одинаковой. Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно наглядно судить о значении напряженности поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще, там напряженность поля больше, а силовые линии ортогональны этим поверхностям.

Примеры.

Графическое изображение поля точечного заряда и поля диполя.