3. Магнитное поле элементарного контура.

О собый интерес представляет случай, когда контур с током плоский и его размеры достаточно малы. Такой контур с током называется элементарным. Примером элементарного контура являются молекулярные токи. Магнитное поле элементарного контура удобно описывать с помощью магнитного момента , который определяется произведением тока на площадь контура :

.

Магнитный момент является вектором . Вектор перпендикулярен плоскости контура и его направление связано с направлением тока в контуре правилом правого буравчика (см. рисунок).

Магнитное поле элементарного контура подобно электрическому полю диполя (см. рисунок). Используя аналогично можно записать:

,

где .

Модуль вектора равен: .

4. Т ок течет по длинному проводнику, имеющему форму желоба с поперечным сечением в форме тонкой дуги окружности радиусом (см. рисунок). Определить индукцию магнитного поля в точках на оси желоба.

М агнитное поле на оси желоба можно представить как сумму полей элементарных линейных токов, результирующая которой направлена вдоль оси (см. рисунок).

Проекция:

где , .

Интегрируя по углу с учетом симметрии находим:

, где .

В частном случае тонкостенного полуцилиндра :

,

а на оси тонкостенной трубы .

Задачи для самостоятельного решения.

1. Определить магнитное поле в геометрическом центре дуги окружности радиусом и длиной , по которой течёт ток .

Ответ: .

2. Однородный ток течёт вдоль листа шириной . Определить магнитное поле в точке, находящейся в плоскости листа, на расстоянии b от ближайшей стороны.

Ответ: .

Лекция 13.

Основные законы магнитного поля. Теорема Гаусса для вектора .

П оток вектора сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

.

Эта теорема отражает опытный факт отсутствия в природе источников магнитного поля. Силовые линии не имеют ни начала, ни конца – они замыкаются на себя. Поэтому сколько силовых линий входит в объём , ограниченный поверхностью , столько же и выходит из него.

Из этой теоремы следует, что поток сквозь произвольную поверхность , натянутую на контур l (см. рисунок), не зависит от формы поверхности. Докажем это.

Пусть контур l является плоским. Поверхность является замкнутой и потому:

.

Представим поток через замкнутую поверхность как сумму:

.

Знак минус во втором слагаемом связан с выбором направления нормали к поверхности .

Откуда следует:

, .

Поток не зависит от формы поверхности . Это свойство позволяет однозначно связать магнитный поток с контуром. Введем понятие магнитного потока , сцепленного с контуром l. Если направление обхода контура связано с направлением магнитного поля правилом правого буравчика, то и , где число обходов контура. В противном случае .

К онтур может быть реальным. Например, замкнутый проводник, содержащий витков. Если по такому контуру пропустить ток , то магнитный поток через произвольную поверхность, натянутую на контур, будет пропорционален току в соответствии с законом Био-Савара-Лапласа. Для магнитного потока, сцепленного с контуром, можно записать:

,

где коэффициент пропорциональности называется индуктивностью контура, величина положительная .

По определению индуктивность равна магнитному потоку, сцепленному с контуром, при силе тока в контуре . Измеряется индуктивность в генри . Индуктивность контура зависит от геометрии контура, числа витков и физических свойств среды.

Магнитный поток, сцепленный с контуром, связан с направлением тока в контуре правилом правого буравчика (см. рисунок).