Применение теоремы Гаусса.

П оскольку поле зависит от положения всех зарядов, теорема Гаусса, не позволяет определить в общем случае это поле. Однако, в некоторых случаях она позволяет получать ответы на некоторые принципиальные вопросы, не решая задачи, а также находить само поле , минуя принцип суперпозиции, чрезвычайно простым путем, если в распределении зарядов имеется некоторая симметрия. Рассмотрим несколько примеров.

1. Может ли система точечных зарядов быть устойчивой? Ответ нет, так как для устойчивого положения, например, положительного заряда , необходимо, чтобы во всех точках поверхности поле , образованное остальными зарядами системы, было направлено к заряду . Но такая конфигурация поля противоречит теореме Гаусса.

2. П оле равномерно заряженной плоскости.

И з симметрии задачи следует, что силовые линии поля перпендикулярны плоскости. Такая конфигурация поля подсказывает, что в качестве замкнутой поверхности можно выбрать прямой цилиндр, как показано на рисунке. Поток через боковую поверхность цилиндра равен нулю, и поэтому поток через всю поверхность цилиндра равен , который равен согласно теореме Гаусса . Откуда следует . Этот результат мы уже получили, используя принцип суперпозиции. Так как не зависит от расстояния до пластины, электрическое поле пластины является однородным. Полученный результат справедлив только для бесконечной плоской поверхности. В случае конечной пластины, полученное значение E справедливо для точек вблизи середины пластины, вдали от ее краев.

3. П оле двух параллельных плоскостей, заряженных равномерно разноименными зарядами с поверхностной плоскостью зарядов и .

Это поле можно найти как суперпозицию полей, создаваемых каждой плоскостью в отдельности. Вне пластин поля пластин противоположны, а между пластинами направлены в одну сторону. Напряженность поля вне пластин равна нулю, а между пластинами при наличии однородного изотропного диэлектрика.

4. Э лектрическое поле пластины, равномерно заряженной по объему .

Электрическое поле такой пластины обладает плоской симметрией E(x) и силовые линии направлены вдоль оси x. Очевидно, при x = 0 E = 0. Выбирая замкнутую поверхность в форме прямого цилиндра с образующей вдоль оси x по теореме Гаусса для точек внутри пластины :

,

вне пластины :

.

Откуда находим

, где .

Электрическое поле внутри пластины увеличивается пропорционально , а вне пластины электрическое поле не зависит от расстояния x и является однородным. На границе испытывает разрыв (см. рисунок).

5. П оле бесконечного цилиндра, заряженного равномерно по поверхности с линейной плотностью .

О чевидно, электрическое поле такого цилиндра обладает осевой симметрией, т.е. , где – расстояние от оси цилиндра (см. на рисунке электрическое поле цилиндра в поперечном разрезе).

Замкнутую поверхность целесообразно выбирать в форме коаксильного цилиндра высотой и радиусом (см. рисунок). По теореме Гаусса в случае имеем

, откуда:

.

Для точек внутри цилиндра напряженность электрического поля равна нулю, так как замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов. Зависимость имеет вид (см. рисунок). Вне цилиндра электрическое поле подобно полю нити, расположенной вдоль оси цилиндра.