Особенности расчёта напряжённости электрического поля при непрерывном пространственном распределении заряда.

Можно выделить три типа непрерывного распределения заряда: объёмное, поверхностное, линейное.

Объёмное распределение характеризуется объёмной плотностью заряда:

;

поверхностное – поверхностной плотностью заряда:

;

линейное – линейной плотностью заряда:

.

При известных распределениях , , конечный заряд находится интегрированием соответственно по объёму, поверхности, линии:

,

,

.

Считая элементарный заряд точечным, для напряжённости поля точечного заряда в диэлектрике следует записать:

.

Результирующее поле находится интегрированием:

, .

Например, в случае объёмного распределения:

,

где интегрирование проводится по всему пространству, в котором отлично от нуля.

Таким образом, зная распределение зарядов , , , можно полностью решить задачу о нахождении напряжённости электрического поля. В общем случае расчёт сопряжён со значительными математическими трудностями, так как связан с вычислением трёх интегралов для нахождения проекций , , . Задача облегчается в случаях, когда распределение зарядов обладает некоторой симметрией.

Электрическое поле на оси равномерно заряженного тонкого кольца.

Выделим элементарный участок кольца с зарядом

,

где R - радиус кольца.

В точке на оси с координатой напряженность от элементарного участка направлена вдоль в случае .

Очевидно, результирующее поле направлено вдоль оси . Найдем проекцию:

;

Результирующая напряженность равна:

где - заряд кольца, .

Напряженность электрического поля равна нулю в центре кольца и убывает до нуля при по закону обратных квадратов:

,

так как для этих точек . Таким образом, величина напряженности принимает максимальное значение в некоторой точке на оси, которую можно найти, используя необходимое условие максимума:

.

Координата этой точки равна:

.

Убедитесь в этом самостоятельно. Максимальное значение равно:

.

Электрическое поле на оси равномерно заряженного круга.

Р езультирующее поле на оси круга можно вычислить как сумму полей колец с радиусами от до – радиус круга:

;

,

где ;

П олучим

.

Зависимость представлена на графике. Вблизи круга или при (неограниченная пластина). Напряженность не зависит от расстояния:

.

Поле неограниченной пластины является однородным. Вдали от круга при электрическое поле убывает как поле точечного заряда по закону обратных квадратов:

,

где - заряд круга.

Самостоятельно исследуйте электрическое поле на оси круглого отверстия в неограниченной равномерно заряженной пластине.

Электрическое поле равномерно заряженной нити ( ).

а ) Электрическое поле на оси прямой нити ( ). Введем обозначение , где - длина нити, – расстояние до точки от ближайшего конца нити.

Н апряженность от элементарного участка нити равна:

.

Для результирующей напряженности получаем:

.

Для точек, удаленных от нити, при условии , напряженность убывает по закону обратных квадратов:

.

б) Электрическое поле прямой нити в точках вне оси.

Геометрия положения точки пространства относительно нити однозначно задается расстоянием и углами и .

Выделим элементарный участок нити, который создает элементарную напряженность в точке величиной

.

Здесь , – расстояние от элементарного участка до точки, - полярный угол для элементарного участка, - угловой размер элементарного участка.

В последнем соотношении произведем замену переменной интегрирования на полярный угол . Воспользуемся для этого геометрической связью

,

- элементарный участок дуги окружности радиусом .

Для проекций и получаем:

,

.

Интегрируя от до находим для проекций:

,

.

Модуль результирующего вектора равен , а направление вектора определяется углом , для которого выполняется условие:

.

Отметим, что электрическое поле прямой нити обладает осевой симметрией.