6. Электрическое поле цилиндра, равномерно заряженного по объему .

Электрическое поле такого цилиндра обладает осевой симметрией , где – расстояние от оси цилиндра. Выбирая замкнутые поверхности в форме коаксильных цилиндров, по теореме Гаусса для точек вне цилиндра ( – радиус цилиндра):

,

для точек внутри цилиндра:

,

где и - диэлектрические проницаемости цилиндра и окружающей среды, – высота коаксильного цилиндра.

Поле такого цилиндра описывается следующими соотношениями:

, где - линейная плотность заряда цилиндра.

Внутри цилиндра электрическое поле растет пропорционально , вне цилиндра убывает аналогично полю нити, расположенной вдоль оси цилиндра. На границе раздела испытывает разрыв.

7. Поле сферической поверхности, заряженной равномерно зарядом q. Это поле обладает сферической симметрией, т.е. , где – расстояние от центра сферы. Естественно, в качестве замкнутой поверхности выбрать концентрическую сферу. Для точек вне сферы ( – радиус сферы) по теореме Гаусса:

, где .

Откуда:

.

Для всех точек внутри сферы напряженность равна нулю. Зависимость представлена на рисунке. Вне сферы электрическое поле аналогично полю точечного заряда, находящегося в центре сферы.

8. Электрическое поле шара, равномерно заряженного по объему .

П оле такого шара обладает сферической симметрией , где - расстояние от центра шара. Диэлектрическая проницаемость материала шара , а окружающей среды . Выбирая замкнутые поверхности в форме концентрических сфер, для точек внутри шара ( – радиус шара) по теореме Гаусса:

,

а для точек вне шара :

, где .

Откуда следует:

.

Зависимость представлена на рис. Внутри шара , а вне шара .На границе раздела диэлектриков испытывает скачок (разрыв), кривая 1 соответствует значениям , кривая 2 значениям .

Лекция 4.

Теорема о циркуляции вектора электростатического поля. Понятие потенциала.

Из механики нам известно, что гравитационные силы являются консервативными. Работа консервативных сил по замкнутой траектории равна нулю. Учитывая аналогию между законом Кулона и законом всемирного тяготения, можно утверждать, что электрические силы также являются консервативными. Следовательно, работа электрических сил по замкнутой траектории равна нулю:

.

Так как , то:

.

Интеграл от по замкнутой траектории называется циркуляцией вектора .

Мы получили математическое выражение консервативности (потенциальности) электростатического поля: циркуляция вектора электростатического поля равна нулю. Это утверждение составляет содержание теоремы о циркуляции, физический смысл которой заключается в том, что работа по перемещению единичного электрического заряда в электростатическом поле по замкнутой траектории равна нулю.

С ледствием теоремы о циркуляции является независимость работы по перемещению электрического заряда из одной точки поля в другую от формы траектории. Выделим на траектории какие-либо две точки и разобьем круговой интеграл на сумму двух интегралов:

.

Перенесем второе слагаемое в сумме в правую часть и поменяем направление интегрирования:

.

Теорема о циркуляции вектора электростатического поля позволяет сделать ряд важных выводов, не прибегая к расчетам. Например, что силовые линии электростатического поля не могут быть замкнутыми или, что невозможна следующая конфигурация электрического поля (см. рис.).