5. Щільність ймовірностей системи двох випадкових величин

Ймовірність розміщення системи у прямокутній області обчислюється за формулою:

.

Означення. Щільністю ймовірностей системи двох випадкових величин називається друга похідна від функції :

. (6. 3)

Властивості :

1. , оскільки є неспадною функцією аргументів і .

2. Умова нормування системи двох неперервних випадкових величин є: .

3. Функція розподілу ймовірностей системи двох неперервних випадкових величин визначається з рівняння:

.

6. Числові характеристики системи двох неперервних випадкових величин

,

,

,

,

.

Питання для самоконтролю

1. Означення багатовимірної випадкової величини .

2. Означення закону розподілу багатовимірної випадкової величини.

3. Основні числові характеристики для системи двох дискретних випадкових величин.

4. Що визначає кореляційний момент ?

5. Чому дорівнює ?

6. Коефіцієнт кореляції та його властивості.

7. Якщо =0 , то чому дорівнює ?

8.Що називається умовним законом розподілу Y/x ?

9. Умови нормування для системи двох ДВВ.

Література

Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].

Тема 7. Функції випадкового аргументу

Мета роботи: вивчити поняття функції, закону розподілу та числові характеристики для функції дискретного і неперервного випадкового аргументу.

План вивчення теми

1. Поняття функції.

2. Закон розподілу та числові характеристики функції. дискретного випадкового аргументу.

3. Закон розподілу та числові характеристики функції. неперервного випадкового аргументу.

Методичні рекомендації до самостійної роботи

1. Поняття функції

У багатьох випадках треба розглядати дві випадкові величини X та Y. Так, наприклад, при аналізі діяльності підприємства треба враховувати кількість усіх працюючих X та кількість зроблених виробів Y. З різних причин кількість працюючих та зроблених виробів кожного дня можуть бути різними, тобто X та Y будуть випадковими величинами.

Означення. Якщо вказано закон, за яким кожному можливому значенню випадкової величини X відповідає певне значення випадкової величини Y, то Y називають функцією X і позначають .

Відзначимо, що іноді різним можливим значенням випадкової величини X відповідають однакові значення Y. Наприклад, якщо Y = X², то значенням 3 та –3 випадкової величини X відповідає одне значення випадкової величини Y = 9.

Однією із можливих задач теорії ймовірностей є визначення законів розподілу та числових характеристик функцій випадкового аргументу, закон розподілу якого відомий. Вкажемо основні формули для розв'язування цієї задачі.

2. Закон розподілу та числові характеристики функції дискретного випадкового аргументу

Нехай , аргумент X - дискретна випадкова величина. У цьому випадку Y також дискретна випадкова величина із відповідними значеннями.

Математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення функції Y обчислюють за формулами:

, (7.1)

, (7.2)

. (7.3)

3. Закон розподілу та числові характеристики функції неперервного випадкового аргументу

Нехай X — неперервна випадкова величина, закон розподілу якої заданий диференціальною функцією розподілу (щільністю ймовірностей) ; випадкова величина .

Якщо - диференційовна функція, монотонна на усьому проміжку можливих значень X, то щільність розподілу функції

визначають так

.

де - функція, обернена по відношенню до функції .