Тема 7. Функції випадкового аргументу

Мета заняття: Закріпити теоретичні знання і набути практичні навички розрахунку числових характеристик функції дискретного та неперервного випадкових аргументів в ході розв’язання практичних задач.

Обладнання: 1. Методичні рекомендації і завдання до практичних занять; 2. Мікрокалькулятори.

План заняття

1. Основні теоретичні відомості з теми заняття.

2. Розв’язування задач.

3. Підведення підсумків заняття.

Методичні рекомендації

Якщо вказано закон, за яким кожному можливому значенню випадкової величини X відповідає певне значення випадкової величини Y, то Y звуть функцією X і позначають .

Нехай – функція випадкового аргументу. Якщо X - дискретна випадкова величина, то Y також дискретна випадкова величина із відповідними значеннями.

Математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення функції Y обчислюють за формулами:

,

,

.

Коли X — неперервна випадкова величина, закон розподілу якої заданий щільністю ймовірностей , і – диференційовна функція, монотонна на усьому проміжку можливих значень X, то щільність розподілу функції визначають так

.

де - функція, обернена по відношенню до функції .

Числові характеристики функцій неперервного випадкового аргументу визначаються за формулами:

; ;

.

Задачі для розв’язання

1. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано таблицею:

Хі	-4	-2	-1	1	2	4
Рі	0,1	0,2	0,1	0,1	0,2	0,3

Побудувати закон розподілу ймовірностей для Y=3Х².

2. За заданим законом розподілу:

Хі	-π/3	-π/4	-π/6	0	π/6	π/4	Π/3
Рі	0,1	0,2	0,1	0,1	0,2	0,1	0,2

Обчислити M(Y), D(Y), ( Y ), якщо Y=cos² Х.

3. Випадкова величина Х рівномірно розподілена в інтервалі (-1, 1). Знайти щільність імовірності випадкової величини Y=Х².

4. Задані розподіли незалежних випадкових величин Х та Y:

Х	-1	0	1
Р(Х)	0,3	0,5	0,2

Y	0	1
Р(Y)	0,4	0,6

Знайти математичне сподівання та дисперсію випадкової величини Z=X²·Y³.

5. Випадкова величина Х розподілена рівномірно в інтервалі (0, 2). Знайти дисперсію випадкової величини Y=3-2Х.

6. Задані розподіли випадкових величин Х та Y:

Х	3	5	7
Р(Х)	0,3	0,5	0,2

Y	2	6
Р(Y)	0,6	0,4

Скласти розподіл величини Z=X+Y та знайти її математичне сподівання .

7. Незалежні випадкові величини Х та Y мають щільності ймовірностей:

f(x) f(y)

-2 x 2 y

Визначити 1) M(2X+3Y-2), D(2X+3Y-2),

2) M(XY), D(XY).

Т е с т и

Варіант №1

Дискретна випадкова величина задана законом розподілу

Х	1	3	5
Р	0,2	0,5	0,3

Нехай Y=X²+1, тоді

1. М( Х ) дорівнює: а) 2,02; б) -1,3; в) 3,2 г) 0.

2. М(Y) дорівнює: а) 11; б) -1,4; в) 4,5 г) 13,2.

3. М(Y²) дорівнює: а) 0,55; б) 123; в) 253,6; г) 134.

4. D(Y) дорівнює: а) 4,5; б) 79,36; в) 2,3; г) 0,14.

Варіант №2

Випадкова величина Х рівномірно розподілена в інтервалі (-1; 1). Для випадкової величини Y=Х² знайти:

1. щільність імовірності;

2. М(Y). а) 1/3; б) -1; в) 1/6 г) 0.

3. М(Y²). а) 45; б) 8,19; в) 5; г) 0,1.

4. D(Y). а) 13/180; б) 14/180; в) 1,1 г) 7,35.

Література

Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].

Практичне заняття №10