Тема 12. Перевірка статистичних гіпотез

Мета роботи: вивчити поняття статистичних гіпотез, їх різновиди, розібрати, що називається похибками I і II роду, що таке критерій узгодження Пірсона, засвоїти алгоритм перевірки правильності нульової гіпотези.

План вивчення теми

1. Статистичні гіпотези та їх різновиди.

2. Похибки перевірки гіпотез.

3. Критерії узгодження для перевірки гіпотез.

4. Критична область.

Методичні рекомендації до самостійної роботи

1. Статистичні гіпотези та їх різновиди

Інколи необхідно знати закон розподілу генеральної сукупності. Якщо закон розподілу невідомий, але є підстави для припущення про його вигляд А, наприклад, розподіл рівномірний, показниковий або нормальний, тоді висувають гіпотезу:генеральна сукупність розподілена за законом А.

Іноді закон розподілу генеральної сукупності відомий, але його параметри (числові характеристики) невідомі. Якщо можна припустити, що невідомий параметр дорівнює певному значенню то висувають гіпотезу: . Ця гіпотеза вказує припущену величину параметра відомого розподілу.

Можливі також інші гіпотези: про рівність параметрів двох різних розподілів, про незалежність вибірок, та багато інших.

Означення 1. Статистичними називають гіпотези про вигляд розподілу генеральної сукупності або про параметри відомих розподілів.

Наприклад, статистичними будуть гіпотези:

• генеральна сукупність розподілена за нормальним законом;

• дисперсії двох сукупностей, розподілених за законом Пуассона, рівні між собою.

Відомо, що на творчі можливості людей впливають не тільки гени але й умови життя. Розглянемо гіпотези:

- значна частина народжених у першому півріччі має краще розвинену ліву частину мозку, яка здійснює логічне мислення;

- значна частина людей, народжених у другому півріччі, має краще розвинену праву частину мозку, яка здійснює образне мислення.

Ці гіпотези не статистичні, бо в них не йде мова ні про вигляд, ні про параметри розподілу. Але для вказаної ситуації можна сформулювати декілька статистичних гіпотез.

Разом з припущеною гіпотезою завжди можна розглядати протилежну їй гіпотезу. Якщо припущена гіпотеза була відхилена, тоді має місце протилежна гіпотеза. Отже, ці гіпотези доцільно відрізняти.

Означення 2. Основною (нульовою) називають припущену гіпотезу і позначають Н_о.

Означення 3. Альтернативною (конкурентною) називають гіпотезу, що суперечить основній, її позначають Н₁.

Наприклад, якщо Н_о: М(Х) = 6, то Н₁: М(Х) 6.

Гіпотези можуть мати тільки одне або більше одного припущення.

Означення 4. Гіпотезу називають простою, якщо вона містить лише одне припущення.

Означення 5. Гіпотезу називають складною, якщо вона складається із скінченої або нескінченої кількості простих гіпотез.

2. Похибки перевірки гіпотез

Статистична гіпотеза, яка висунута, може бути правильною або неправильною, тому виникає необхідність її перевірки.

Перевірка гіпотези здійснюється за даними вибірки, тобто статистичними методами. Тому перевірку гіпотези за даними вибірки називають статистичною.

При перевірці статистичної гіпотези за даними випадкової вибірки можна зробити хибний висновок. При цьому можуть бути похибки першого та другого роду.

Означення 1. Якщо за висновком буде відкинута правильна гіпотеза, то кажуть, що це похибка першого роду.

Означення 2. Якщо за висновком буде прийнята неправильна гіпотеза, то кажуть, що це похибка другого роду.

Відмітимо, що наслідки цих похибок можуть бути різними. Наприклад, якщо відкинути правильну гіпотезу «продовжити будівництво м'ясокомбінату», то ця похибка першого роду буде сприяти матеріальним витратам.

Якщо взяти неправильну гіпотезу «продовжити будівництво, не враховуючи можливості обвалу об'єкта будівлі», то внаслідок цієї похибки другого роду можуть загинути люди.

Означення 3. Імовірність здійснити похибку першого роду позначають а і називають рівнем значущості.

Найчастіше рівень значущості беруть рівним 0,05 або 0,01. Якщо взято рівень значущості рівним 0,05, то це означає, що в п'яти випадках із 100 ми ризикуємо одержати похибку першого роду (відкинути правильну гіпотезу).

Зауваження. При контролі якості продукції імовірність признати нестандартними стандартні вироби називають ризиком виробника, а імовірність признати придатними браковані вироби називають ризиком споживача.