Тема 12. Перевірка статистичних гіпотез

Мета заняття: Закріпити теоретичні знання і набути практичні навички виконання статистичної перевірки статистичних гіпотез в ході розв’язання практичних задач.

Обладнання: 1. Методичні рекомендації і завдання до практичних занять; 2. Мікрокалькулятори.

План заняття

1. Основні теоретичні відомості з теми заняття.

2. Розв’язування задач.

3. Підведення підсумків заняття.

Методичні рекомендації

Статистичними називають гіпотези про вигляд розподілу генеральної сукупності або про параметри відомих розподілів.

Для перевірки правильності H₀: =a, ( =a), де a є певним числом, при заданому рівні значущості α насамперед необхідно вибрати статистичний критерій К.

Найзручнішим критерієм для цього типу задач, якщо відоме значення середнього квадратичного відхилення ознаки генеральної сукупності, є випадкова величина K=Z, що має нормований нормальний закон розподілу ймовірностей N(0;1), а саме:

.

Значення z_кр обчислюємо з рівняння Ф(z_кр) .

У випадку, коли значення невідоме, його замінюють статистичною оцінкою

.

Тоді за статистичний критерій вибирається випадкова величина K=t, що має розподіл Стьюдента з k=n–1 ступенями свободи, а саме:

.

Критичні точки у цьому разі визначаються за таблицею (додаток 6) заданим рівнем значущості α та числом ступенів свободи k=n–1. При великих обсягах вибірки (n>40) статистичний критерій наближається асимптотично до закону розподілу N(0;1), тому t_кр=z_кр.

При перевірці непараметричних гіпотез використовується критерій Пірсона. Критерій узгодженості Пірсона є випадковою величиною, що має розподіл , який визначається за формулою:

,

і має k=q–m–1 ступенів свободи, де q – число часткових інтервалів інтервального статистичного розподілу вибірки; m – число параметрів, яким визначається закон розподілу. Наприклад, для закону Пуассона, який характеризується одним параметром λ, m =1, для нормального закону m =2, оскільки цей закон визначається двома параметрами a = і σ.

Задачі для розв’язання

1. Щомісячний прибуток на підприємстві у розрахунку на одного робітника є випадковою величиною, що має нормальний закон розподілу . При рівні значущості перевірити правильність , якщо альтернативна гіпотеза , коли відомо що і вибіркове середнє для 100 робітників дорівняє .

2. Реалізувавши вибірку з генеральної сукупності, ознака якої Х має нормальний розподіл, дістали статистичний розподіл:

	6	7	8	9	10	11	12	13	14
	1	3	6	8	6	6	5	3	2

При рівні значущості α=0,01 перевірити правильність нульової гіпотези H₀: a=8, якщо Н_α: a≠8.

3. Вимірювалась швидкість руху автомобілів на певній ділянці шляху. Результати вимірів наведено в таблиці:

h = 2	17 - 19	19 - 21	21 - 23	23 - 25	25 - 27	27 - 29
ni	5	10	21	31	6	4

Визначити гіпотетично, який закон розподілу має ознака Х – швидкість автомобіля. При рівні значущості α=0,05 перевірити правильність сформульованої нульової гіпотези.

4. За даним статистичним розподілом вибірки:

h=4	0 – 10	10 – 20	20 – 30	30 – 40	40 – 50
ni	40	30	20	6	4

З’ясувати гіпотетично закон розподілу ймовірностей випадкової величини Х. При рівні значущості α=0,01 перевірити правильність цього припущення.

Т е с т и

Варіант №1

1. Що таке “критична область” при перевірці гіпотези?

а) імовірність, з якою буде прийнято невірне рішення;

б) імовірність, з якою буде прийнято вірне рішення;

в) область значень критерію, при попаданні в яку гіпотеза приймається;

г) область значень критерію, при попаданні в яку гіпотеза відхиляється.

2. Використовуючи критерій Пірсона (χ-квадрат) з рівнем значущості =0,01, перевірити гіпотезу про нормальний роз­поділ генеральної сукупності X, якщо відомі емпіричні та теоретичні частоти.

	8	16	40	72	36	18	10
	6	18	36	76	39	18	7

1. знайти спостережуване значення критерію;

2. знайти критичне значення критерію.

а) =1,7, Н₀ відхиляємо; б) =1,7, Н₀ приймаємо;

в) =13,3, Н₀ приймаємо; г) =13,3, Н₀ відхиляємо.

Варіант №2

1. Скільки параметрів у розподілі хі-квадрат?

а) 0; б) 2; в) 3; г) 1.

2. Для вибірки обсягу n=20, отриманої з нормальної генеральної сукупності, знайдено вибіркове середнє і виправлене вибіркове середнє квадратичне відхилення s=4,2. При рівні значущості =0,05 перевірити основну гіпотезу , якщо альтернативна гіпотеза .

а) H₀ приймаємо; б) H₀ відхиляємо.

Література

Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].

Практичне заняття №16