Тема 6. Багатовимірні випадкові величини

Мета заняття: Закріпити теоретичні знання і набути практичні навички розрахунку числових характеристик, використання функції розподілу ймовірностей багатовимірних випадкових величин в ході розв’язання практичних задач.

Обладнання: 1. Методичні рекомендації і завдання до практичних занять; 2. Мікрокалькулятори.

План заняття

1. Основні теоретичні відомості з теми заняття.

2. Розв’язування задач.

3. Підведення підсумків заняття.

Методичні рекомендації

Сукупність n одночасно розглядаємих випадкових величин (X₁, X₂,…, X_n) називають системою випадкових величин. Законом розподілу двох дискретних випадкових величин називають перелік можливих значень , та відповідних їм ймовірностей спільної появи.

Під час вивчення системи двох і більше випадкових величин доводиться з’ясовувати наявність зв’язку між цими величинами та його характер. Для цього застосовують кореляційний момент:

.

У разі кореляційний зв’язок відсутній.

Тісноту кореляційного зв’язку характеризує коефіцієнт кореляції:

.

Функцією розподілу ймовірностей системи двох випадкових величин називають таку функцію двох аргументів , яка визначає ймовірність спільної появи подій :

.

Щільністю ймовірностей системи двох випадкових величин називається друга похідна від функції :

.

Функція розподілу ймовірностей системи двох неперервних випадкових величин визначається з рівняння:

.

Задачі для розв’язання

1. Закон розподілу системи двох випадкових величин Х і Y має вигляд:

X Y	5,2	10,2	15,2
2,4	0,1а	2а	0,9а
4,4	2а	0,2а	1,8а
6,4	1,9а	0,8а	0,3а

Записати закон розподілу для випадкових величини Х і Y. Обчислити а, M(X), D(X), (X), M(Y), D(Y), ( Y ), К_XY, r_XY, Р(2,5<X≤15,2; 2,4≤Y<6,4).

2. Ймовірність того, що при перевірці деталь виявиться стандартною, дорівнює 0,8. Перевірці підлягають 3 деталі. Побудувати закон розподілу системи двох дискретних випадкових величин Х – появи числа бракованих деталей і Y – появи числа стандартних деталей.

3. Ймовірність появи випадкової події в кожному з чотирьох незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює 0,9. розглядаються дві випадкові величини: Х – число появи випадкової події в результаті цих експериментів; Y – число експериментів, при яких подія не наставала. Обчислити M(X), M(Y).

4. Знайти ймовірність влучення точки в область D={a<X<b, Y<c}.

5. Обчислити ймовірність влучення точки в довільний прямокутник {a<X<b, c<Y<d}.

6. Задано двовимірний закон розподілу:

Y Х	10	20	30
-6	0,02	0,05	0,03
-4	0,08	0,15	0,07
-2	0,2	0,3	0,1

Обчислити M(X/ Y=-4), (X/Y=-4), M(Y/Х=30), (Y/Х=30).

7. Закон розподілу системи двох неперервних випадкових величин задано функцією розподілу ймовірностей:

Обчислити Р(0<X<4; 0<Y<2).

8. Задано f(x, y)=1/48, якщо (X, Y) ∈ D; f(x, y)=0, якщо (X, Y) ∉ D, де D={0≤ х ≤ π/2, 0 ≤ у ≤ π/2}. Знайти К_XY, r_XY.

9. Брак продукції заводу внаслідок дефекту А становить 3%, а внаслідок дефекту В – 4,5%.Стандартна продукція становить 95%. Знайти кореляційний момент і коефіцієнт кореляції між дефектами А і В.

10. Система випадкових величин має щільність

, де D={0≤ х ≤ π/2, 0 ≤ у ≤ π/2}.

Знайти коефіцієнт а, M(X), M(Y).

Т е с т и

Варіант №1

1.Умовою нормування для неперервних випадкових величин є:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. В яких межах лежить коефіцієнт кореляції?

а) від 0 до 1; б) від - до ; в) від - до ; г) від –1 до 1.

3. Закон розподілу системи двох випадкових величин Х і Y має вигляд:

Y Х	0	1
0	0,2	0,15
1	0,15	0,15
2	0,1	0,25

Знайти D(Y).

а) 0,2; б) 1; в) –1; г) 0,7.

4. Задано двовимірний закон розподілу:

Y X	1	2	3
-1	0,2	0,1	0,3
0	0,15	0,15	0,1

Обчислити М(X /Y =-1).

а) 13/6; б) 12/6; в) 2/3 г) 0.

5. По мішені проводиться один постріл. Ймовірність влучення дорівнює p. Розглядається Х – кількість влучень, Y – кількість промахів. Побудувати розподіл ймовірностей системи випадкових величин (Х, Y).

Варіант №2

1. Яке з наведених тверджень невірне?

а) 0F(x)1; б) якщо r_xy=0, то Х і Y незалежні; в)r_xy1; г) всі вірні.

2. Якщо К_xy=0, то чому дорівнює r_xy?

а) -2; б) ; в) 1; г) 0.

3. Закон розподілу системи двох випадкових величин Х і Y має вигляд:

Y X	0	1
0	0,2	0,15
1	0,15	0,15
2	0,1	0,25

Знайти М( Х ) і М(Y).

а) М( Х )=1,2 М(Y)=4,3; б) М( Х )=2,6 М(Y)=0,4;

в) М( Х )=0,55 М(Y)=1; г) М( Х )=1 М(Y)=1.

4. Задано двовимірний закон розподілу:

Y X	1	2	3
-1	0,2	0,1	0,3
0	0,15	0,15	0,1

Обчислити D(Y/X =3).

а) 3/6; б) 3/16; в) 2/4 г) 9/4.

5. Ймовірність того, що при перевірці деталь виявиться стандартною, дорівнює 0,7. Перевірці підлягають 2 деталі. Побудувати закон розподілу системи двох дискретних випадкових величин Х – появи числа бракованих деталей і Y – появи числа стандартних деталей.

Література

Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].

Практичне заняття №9