Тема 1. Емпіричні та логічні основи теорії ймовірностей

Мета роботи: вивчити основні поняття теорії ймовірностей, формули комбінаторики, навчитись застосовувати їх при розв’язанні задач.

План вивчення теми

1. Випадкові події. Класифікація подій.

2. Прості та складені випадкові події. Простір елементарних подій.

3. Операції над подіями. Повна група подій. Протилежні події.

Методичні рекомендації до самостійної роботи

У світі існує і водночас взаємодіє незліченна кількість різноманітних об'єктів, явищ. Тому виділяючи з цього різноманіття те, що нас цікавить, ми тоді лише можемо бути впевненими, що ні одна з умов появи його не забута, якщо опишемо стан всього Всесвіту саме на цей момент. Очевидно, що це нереально і тому формулювання будь-якого закону неминуче є неповним, наближеним. Кожен раз, коли експериментатор застосовує метод індукції, він свідомо чи підсвідомо користується численням ймовірностей. З цієї точки зору кожна наука є деяким застосуванням такого числення. З іншого боку, часто надзвичайно мала причина, яку через це ми і не можемо врахувати, викликає значну дію, наслідки якої нам видаються випадковими. Однак, висновки, які ми отримуємо про такі події методами теорії ймовірностей та математичної статистики, не перестануть бути справедливими і тоді, коли ми отримаємо про ці явища більше відомостей.

Математична наука, що вивчає закономірності масових подій,

називається теорією ймовірностей.

Науку, що використовує теорію ймовірностей для обробки численних одиниць інформації як наслідків експерименту, називають математичною статистикою.

Зауважимо, що нині існує тенденція до появи нових економічних дисциплін, таких як «Економетрія», «Теорія ризику», «Теорія надійності», «Інформатика» і т. ін., котрі тісно пов'язані з теорією ймовірностей. Своїм виникненням ці дисципліни завдячують саме теорії ймовірностей. Отже, теорію ймовірностей можна розглядати як об'єднання певної кількості різнорідних і доволі розвинених дисциплін, кожна з яких зокрема і всі вони разом мають стати науковим багажем кожного економічно освіченого спеціаліста.

1. Випадкові події

Послідовність операцій, виконуваних з додержанням певного комплексу умов, називають експериментом (дослідом, спробою). Наслідок будь-якого експерименту називають подією.

Класифікація подій. Події поділяються на вірогідні, неможливі та випадкові.

Якщо в результаті експерименту, здійснюваного з додержанням певного комплексу умов, певна подія обов'язково настає, то вона називається вірогідною. Вірогідна подія позначається символом («омега»).

Наведемо приклади вірогідних подій: 1) у земних умовах вода, нагріта до температури 100 °С, набуває стану кипіння; 2) якщо в урні міститься 10 однакових кульок, пронумерованих від 1 до 10, то кулька, навмання взята із цієї урни, має номер, що міститься в межах від 1 до 10.

Подія називається неможливою, якщо в результаті експерименту, проведеного з додержанням певного комплексу умов, вона не настає ніколи. Неможлива подія позначається символом  (порожня множина).

Приклад: в урні міститься 10 однакових кульок, пронумерованих від 1 до 10. Навмання береться одна кулька. Поява кульки з номером 12 буде подією неможливою.

Подія називається випадковою, якщо за певного комплексу умов у результаті експерименту вона може настати або не настати залежно від дії численних дрібних факторів, урахувати які дослідник не в змозі.

Випадкові події позначають символами А, В, С, ... або А₁, А₂, А₃, ... .

Отже, випадкові події пов'язані з експериментами, наслідки яких є неоднозначними.

Приклад: монету підкидають один раз. (Тут і далі припускаємо, що падає монета на рівну і тверду підлогу). Поява герба (цифри) — подія випадкова.

Якщо на дослідній ділянці в лабораторних умовах посіяно 100 зернин ячменю, то не можна передбачити наперед, скільки зернин проросте. Отже, подія, яка полягає в тому, що проросте від 1 до 100 зернин, є випадковою.