Тема 4. Випадкові величини та їх економічна інтерпретація

Мета заняття: Закріпити теоретичні знання і набути практичні навички використання функції розподілу ймовірностей і щільності ймовірностей в ході розв’язання практичних задач.

Обладнання: 1. Методичні рекомендації і завдання до практичних занять; 2. Мікрокалькулятори.

План заняття

1. Основні теоретичні відомості з теми заняття.

2. Розв’язування задач.

3. Підведення підсумків заняття

Методичні рекомендації

Випадкові величини бувають дискретними та неперервними. Дискретною випадковою величиною (ДВВ) називають таку величину, яка може набувати відокремлені, ізольовані одне від одного числові значення (їх можна пронумерувати). Кількість можливих значень ДВВ може бути скінченою або нескінченою. Неперервною випадковою величиною (НВВ) називають величину, яка може набувати будь-яке числове значення з деякого скінченого або нескінченого інтервалу (а, ). Кількість можливих значень такої величини є нескінчена.

Законом розподілу випадкової величини називають таке співвідношення, яке встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм ймовірностями.

Інтегральною функцією розподілу (функцією розподілу) називають ймовірність того, що випадкова величина X набуде значення, меншого за х:

.

Властивості функції розподілу:

1) ;

2) є неспадною функцією аргументу , тобто , якщо .

Диференціальною функцією розподілу (щільністю) ймовірностей НВВ називають похідну першого порядку від її інтегральної функції розподілу і позначають:

Щільність має наступні властивості:

3. ;

2) = 1 – умова нормування НВВ.

Функція розподілу є первісною для диференціальної функції розподілу . Ймовірність того, що неперервна випадкова величина X набуде значення з інтервалу (а, b), визначається рівністю

.

Функція розподілу існує для ДВВ –

і для НВВ – , де – щільність.

Повними, вичерпними характеристиками для дискретних випадкових величин є 1) функція розподілу;

2) ряд розподілу.

Для неперервних: 1) функція розподілу;

2) щільність розподілу.

Задачі для розв’язання

1

-4 0 2

Хі	-2	2	4	8	10
Рі	0,1	2а	0,3	0,1	3а

. За заданим законом розподілу ймовірностей

обчислити: параметр a, ймовірності таких випадкових подій Х≤3, Х=2, Х>4, -2< Х<8.

2. За заданим законом розподілу ймовірностей

Хі	-4	-1	2
Рі	0,4	0,2	0,4

Побудувати функція розподілу ймовірностей і накреслити її графік.

3. Задано функцію розподілу ймовірностей

Знайти закон розподілу Х.

4. Маємо 2 ящика. У першому містяться 6 стандартних і 4 бракованих однотипних деталей. У другому – 5 стандартних і 5 бракованих деталей. Із кожного ящика навмання беруть по одній деталі. Побудувати закон розподілу випадкової величини Х – числа стандартних деталей серед двох навмання взятих.

5. Задано функцію розподілу ймовірностей

Знайти f(х). Побудувати графік F(х), f(х) і обчислити .

6. Випадкова величина Х задана функцією розподілу:

Знайти: а) щільність імовірності f(х); б) імовірність улучення величини Х в інтервал (1; 2,5); в) імовірність влучення величини Х в інтервал (2,5; 3,5).

7. Троє складають іспит із теорії ймовірності. Імовірність того, що перший студент складе екзамен, становить 0,9, для другого та третього студентів ця ймовірність дорівнює відповідно 0,85; 0,8. Побудувати закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х – числа студентів, які складуть іспит з теорії ймовірності.

8. Дано функцію розподілу ймовірностей

F(x)=

Знайти . Побудувати графіки , F(х).

9. Задано щільність ймовірності

Знайти коефіцієнт А; функцію розподілу F(х).

10. Дано щільність імовірності

Знайти а і F(х). Побудувати графіки f(x), F{х).

11. Графік заданої щільності ймовірностей зображено на рис.1

рис.1

Записати вирази для f(x), i F(x). Побудувати графік F(x).

12. За заданою щільністю ймовірностей

f(x)=

Обчислити P

13. Задана щільність імовірності випадкової величини X

.

Знайти параметр С і F(x).

14. Функція розподілу ймовірностей є лінійною.

Знайти вирази для F(х) і f(х). Побудувати графік f(х)

15. Випадкова величина Х має ймовірнісний трикутник, зображений на рис.2

рис.2

Записати вирази для f(х) і F(х) побудувати графік функції F(х).

Т е с т и

Варіант №1

1. За заданим законом розподілу ймовірностей

Хі	1	2	3	4
Рі	0,2	0,4	0,1	0,3

Знайти P(X<3).

а) P(X<3)=0,6; б) P(X<3)=0,4; в) P(X<3)=0,2; г) P(X<3)=0.

2. Випадкова величина Х задана функцією розподілу:

F(x)=

P(1<X<3) дорівнює: а) 1; б) 0,5; в) 2; г) 0,7.

3. Задана щільність імовірності випадкової величини X:

.

Знайти А.

а) 1; б) 2; в) ; г) – .

4. Дана інтегральна функція розподілу ймовірностей випадкової величини X:

F(x)=

Знайти диференціальну функцію розподілу f(x).

5. Задана щільність імовірності випадкової величини X:

Знайти функцію розподілу F(x).

Варіант №2

1. За заданим законом розподілу ймовірностей

Хі	1	3	5	7
Рі	0,3	0,1	0,2	p4

Знайти p₄ і P(X<7)

а) p₄=0,5; P(X<7)=0,4; б) p₄=0,4; P(X<7)=0,3;

в) p₄=0,3; P(X<7)=0,6; г) p₄=0,4; P(X<7)=0,6.

2. Задано функцію розподілу ймовірностей:

F(x)=

P(1<X<3) дорівнює: а) 1; б) 1/8; в) 3/2; г) 7/8.

3. Задана щільність імовірності випадкової величини X:

f(x)=

Величина А дорівнює: а) 1; б) 1/2; в) 2; г) 3/2.

4. Дана функція розподілу неперервної випадкової величини Х

Знайти диференціальну функцію розподілу f(x).

5. Задана щільність імовірності випадкової величини X:

Знайти функцію розподілу F(x).

Література

Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].

Практичні заняття №6, 7